График функции y = sin(x)+1/sin(x)

Вы ввели

                  1   
f(x) = sin(x) + ------
                sin(x)

$$f{\left (x \right )} = \sin{\left (x \right )} + \frac{1}{\sin{\left (x \right )}}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 3.14159265358979$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sin{\left (x \right )} + \frac{1}{\sin{\left (x \right )}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sin(x) + 1/sin(x).
$$\sin{\left (0 \right )} + \frac{1}{\sin{\left (0 \right )}}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \tilde{\infty}$$
зн.f не пересекает Y

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\cos{\left (x \right )} - \frac{\cos{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:

 -pi      
(----, -2)
  2       

 pi    
(--, 2)
 2     

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумов у функции нет
Не изменяет значения на всей числовой оси

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$- \sin{\left (x \right )} + \frac{1}{\sin{\left (x \right )}} + \frac{2 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{3}{\left (x \right )}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 3.14159265358979$$

$$\lim_{x \to 0^-}\left(- \sin{\left (x \right )} + \frac{1}{\sin{\left (x \right )}} + \frac{2 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{3}{\left (x \right )}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \sin{\left (x \right )} + \frac{1}{\sin{\left (x \right )}} + \frac{2 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{3}{\left (x \right )}}\right) = \infty$$
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 0$$
- является точкой перегиба
$$\lim_{x \to 3.14159265358979^-}\left(- \sin{\left (x \right )} + \frac{1}{\sin{\left (x \right )}} + \frac{2 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{3}{\left (x \right )}}\right) = 1.08892367577758 \cdot 10^{48}$$
$$\lim_{x \to 3.14159265358979^+}\left(- \sin{\left (x \right )} + \frac{1}{\sin{\left (x \right )}} + \frac{2 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{3}{\left (x \right )}}\right) = 1.08892367577758 \cdot 10^{48}$$
- пределы равны, зн. пропускаем соотв. точку

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Выпуклая на всей числовой оси

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 3.14159265358979$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo

True

Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left (x \right )} + \frac{1}{\sin{\left (x \right )}}\right)$$

True

Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left (x \right )} + \frac{1}{\sin{\left (x \right )}}\right)$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(x) + 1/sin(x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(\sin{\left (x \right )} + \frac{1}{\sin{\left (x \right )}}\right)\right)$$

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(\sin{\left (x \right )} + \frac{1}{\sin{\left (x \right )}}\right)\right)$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sin{\left (x \right )} + \frac{1}{\sin{\left (x \right )}} = - \sin{\left (x \right )} - \frac{1}{\sin{\left (x \right )}}$$
- Нет
$$\sin{\left (x \right )} + \frac{1}{\sin{\left (x \right )}} = - -1 \sin{\left (x \right )} - - \frac{1}{\sin{\left (x \right )}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной