График функции y = sin(x+1)-(6/5)

Вы ввели

f(x) = sin(x + 1) - 6/5

$$f{\left (x \right )} = \sin{\left (x + 1 \right )} - \frac{6}{5}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sin{\left (x + 1 \right )} - \frac{6}{5} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sin(x + 1) - 6/5.
$$- \frac{6}{5} + \sin{\left (1 \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = - \frac{6}{5} + \sin{\left (1 \right )}$$
Точка:

(0, -6/5 + sin(1))

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =$$
Первая производная
$$\cos{\left (x + 1 \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -1 + \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = -1 + \frac{3 \pi}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:

      pi       
(-1 + --, -1/5)
      2        

      3*pi        
(-1 + ----, -11/5)
       2          

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = -1 + \frac{3 \pi}{2}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = -1 + \frac{\pi}{2}$$
Убывает на промежутках

(-oo, -1 + pi/2] U [-1 + 3*pi/2, oo)

Возрастает на промежутках

[-1 + pi/2, -1 + 3*pi/2]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =$$
Вторая производная
$$- \sin{\left (x + 1 \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = -1 + \pi$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

(-oo, -1] U [-1 + pi, oo)

Выпуклая на промежутках

[-1, -1 + pi]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left (x + 1 \right )} - \frac{6}{5}\right) = \langle - \frac{11}{5}, - \frac{1}{5}\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle - \frac{11}{5}, - \frac{1}{5}\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left (x + 1 \right )} - \frac{6}{5}\right) = \langle - \frac{11}{5}, - \frac{1}{5}\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle - \frac{11}{5}, - \frac{1}{5}\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(x + 1) - 6/5, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(\sin{\left (x + 1 \right )} - \frac{6}{5}\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(\sin{\left (x + 1 \right )} - \frac{6}{5}\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sin{\left (x + 1 \right )} - \frac{6}{5} = - \sin{\left (x - 1 \right )} - \frac{6}{5}$$
- Нет
$$\sin{\left (x + 1 \right )} - \frac{6}{5} = - -1 \sin{\left (x - 1 \right )} + \frac{6}{5}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной