График функции y = sin(x)+x^5

Вы ввели

                 5
f(x) = sin(x) + x 

$$f{\left (x \right )} = x^{5} + \sin{\left (x \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x^{5} + \sin{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Численное решение
$$x_{1} = -1.22259665713 \cdot 10^{-18}$$
$$x_{2} = 3.7420760269 \cdot 10^{-15}$$
$$x_{3} = -2.11708334675 \cdot 10^{-15}$$
$$x_{4} = 2.46814861639 \cdot 10^{-17}$$
$$x_{5} = 9.92902771974 \cdot 10^{-16}$$
$$x_{6} = 0$$
$$x_{7} = 2.16467008289 \cdot 10^{-19}$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sin(x) + x^5.
$$\sin{\left (0 \right )} + 0^{5}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$5 x^{4} + \cos{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$20 x^{3} - \sin{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 0.222683164508$$
$$x_{3} = -0.222683164508$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[-0.222683164508, 0] U [0.222683164508, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, -0.222683164508] U [0, 0.222683164508]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{5} + \sin{\left (x \right )}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{5} + \sin{\left (x \right )}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(x) + x^5, делённой на x при x->+oo и x ->-oo

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(x^{5} + \sin{\left (x \right )}\right)\right)$$

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(x^{5} + \sin{\left (x \right )}\right)\right)$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x^{5} + \sin{\left (x \right )} = - x^{5} - \sin{\left (x \right )}$$
- Нет
$$x^{5} + \sin{\left (x \right )} = - -1 x^{5} - - \sin{\left (x \right )}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной