График функции y = sin(x)*cos(x)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
f(x) = sin(x)*cos(x)
f(x)=sin(x)cos(x)f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}
График функции
05-5101520253035404550556065-101-1
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
sin(x)cos(x)=0\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=0x_{1} = 0
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
x3=πx_{3} = \pi
x4=3π2x_{4} = \frac{3 \pi}{2}
Численное решение
x1=36.1283155162826x_{1} = 36.1283155162826
x2=59.6902604182061x_{2} = 59.6902604182061
x3=67.5442420521806x_{3} = 67.5442420521806
x4=21.9911485751286x_{4} = 21.9911485751286
x5=483.805268652828x_{5} = -483.805268652828
x6=89.5353906273091x_{6} = 89.5353906273091
x7=23.5619449019235x_{7} = 23.5619449019235
x8=70.6858347057703x_{8} = 70.6858347057703
x9=87.9645943005142x_{9} = -87.9645943005142
x10=14.1371669411541x_{10} = -14.1371669411541
x11=4.71238898038469x_{11} = 4.71238898038469
x12=26.7035375555132x_{12} = 26.7035375555132
x13=56.5486677646163x_{13} = 56.5486677646163
x14=92.6769832808989x_{14} = 92.6769832808989
x15=75.398223686155x_{15} = -75.398223686155
x16=43.9822971502571x_{16} = -43.9822971502571
x17=83.2522053201295x_{17} = -83.2522053201295
x18=42.4115008234622x_{18} = 42.4115008234622
x19=95.8185759344887x_{19} = -95.8185759344887
x20=1.5707963267949x_{20} = -1.5707963267949
x21=39.2699081698724x_{21} = -39.2699081698724
x22=58.1194640914112x_{22} = 58.1194640914112
x23=6.28318530717959x_{23} = 6.28318530717959
x24=45.553093477052x_{24} = 45.553093477052
x25=14.1371669411541x_{25} = 14.1371669411541
x26=72.2566310325652x_{26} = 72.2566310325652
x27=58.1194640914112x_{27} = -58.1194640914112
x28=86.3937979737193x_{28} = -86.3937979737193
x29=53.4070751110265x_{29} = -53.4070751110265
x30=72.2566310325652x_{30} = -72.2566310325652
x31=119.380520836412x_{31} = -119.380520836412
x32=86.3937979737193x_{32} = 86.3937979737193
x33=48.6946861306418x_{33} = 48.6946861306418
x34=21.9911485751286x_{34} = -21.9911485751286
x35=7.85398163397448x_{35} = -7.85398163397448
x36=31.4159265358979x_{36} = -31.4159265358979
x37=42.4115008234622x_{37} = -42.4115008234622
x38=17.2787595947439x_{38} = -17.2787595947439
x39=34.5575191894877x_{39} = 34.5575191894877
x40=95.8185759344887x_{40} = 95.8185759344887
x41=80.1106126665397x_{41} = -80.1106126665397
x42=45.553093477052x_{42} = -45.553093477052
x43=94.2477796076938x_{43} = -94.2477796076938
x44=113.097335529233x_{44} = 113.097335529233
x45=12.5663706143592x_{45} = 12.5663706143592
x46=50.2654824574367x_{46} = -50.2654824574367
x47=97.3893722612836x_{47} = -97.3893722612836
x48=89.5353906273091x_{48} = -89.5353906273091
x49=15.707963267949x_{49} = 15.707963267949
x50=51.8362787842316x_{50} = 51.8362787842316
x51=0x_{51} = 0
x52=61.261056745001x_{52} = -61.261056745001
x53=73.8274273593601x_{53} = 73.8274273593601
x54=29.845130209103x_{54} = 29.845130209103
x55=40.8407044966673x_{55} = -40.8407044966673
x56=1.5707963267949x_{56} = 1.5707963267949
x57=37.6991118430775x_{57} = -37.6991118430775
x58=65.9734457253857x_{58} = 65.9734457253857
x59=81.6814089933346x_{59} = 81.6814089933346
x60=31.4159265358979x_{60} = 31.4159265358979
x61=20.4203522483337x_{61} = -20.4203522483337
x62=81.6814089933346x_{62} = -81.6814089933346
x63=28.2743338823081x_{63} = 28.2743338823081
x64=29.845130209103x_{64} = -29.845130209103
x65=23.5619449019235x_{65} = -23.5619449019235
x66=100.530964914873x_{66} = 100.530964914873
x67=48.6946861306418x_{67} = -48.6946861306418
x68=590.619418874881x_{68} = 590.619418874881
x69=67.5442420521806x_{69} = -67.5442420521806
x70=64.4026493985908x_{70} = -64.4026493985908
x71=87.9645943005142x_{71} = 87.9645943005142
x72=64.4026493985908x_{72} = 64.4026493985908
x73=37.6991118430775x_{73} = 37.6991118430775
x74=28.2743338823081x_{74} = -28.2743338823081
x75=6.28318530717959x_{75} = -6.28318530717959
x76=43.9822971502571x_{76} = 43.9822971502571
x77=73.8274273593601x_{77} = -73.8274273593601
x78=94.2477796076938x_{78} = 94.2477796076938
x79=59.6902604182061x_{79} = -59.6902604182061
x80=51.8362787842316x_{80} = -51.8362787842316
x81=9.42477796076938x_{81} = -9.42477796076938
x82=15.707963267949x_{82} = -15.707963267949
x83=80.1106126665397x_{83} = 80.1106126665397
x84=78.5398163397448x_{84} = 78.5398163397448
x85=7.85398163397448x_{85} = 7.85398163397448
x86=65.9734457253857x_{86} = -65.9734457253857
x87=50.2654824574367x_{87} = 50.2654824574367
x88=20.4203522483337x_{88} = 20.4203522483337
x89=36.1283155162826x_{89} = -36.1283155162826
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sin(x)*cos(x).
sin(0)cos(0)\sin{\left(0 \right)} \cos{\left(0 \right)}
Результат:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
первая производная
sin2(x)+cos2(x)=0- \sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=π4x_{1} = - \frac{\pi}{4}
x2=π4x_{2} = \frac{\pi}{4}
Зн. экстремумы в точках:
 -pi        
(----, -1/2)
  4         

 pi      
(--, 1/2)
 4       


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x1=π4x_{1} = - \frac{\pi}{4}
Максимумы функции в точках:
x1=π4x_{1} = \frac{\pi}{4}
Убывает на промежутках
[π4,π4]\left[- \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]
Возрастает на промежутках
(,π4][π4,)\left(-\infty, - \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{\pi}{4}, \infty\right)
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
вторая производная
4sin(x)cos(x)=0- 4 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=0x_{1} = 0
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
x3=πx_{3} = \pi
x4=3π2x_{4} = \frac{3 \pi}{2}

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[3π2,)\left[\frac{3 \pi}{2}, \infty\right)
Выпуклая на промежутках
(,π2][π,3π2]\left(-\infty, \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\pi, \frac{3 \pi}{2}\right]
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx(sin(x)cos(x))=1,1\lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=1,1y = \left\langle -1, 1\right\rangle
limx(sin(x)cos(x))=1,1\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=1,1y = \left\langle -1, 1\right\rangle
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(x)*cos(x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(sin(x)cos(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
limx(sin(x)cos(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
sin(x)cos(x)=sin(x)cos(x)\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}
- Нет
sin(x)cos(x)=sin(x)cos(x)\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График
График функции y = sin(x)*cos(x) /media/krcore-image-pods/hash/xy/8/53/aec91a5916ca33063470b91020275.png