График функции y = sin(x)*(1-cos(x))

Вы ввели

f(x) = sin(x)*(1 - cos(x))

$$f{\left (x \right )} = \left(- \cos{\left (x \right )} + 1\right) \sin{\left (x \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\left(- \cos{\left (x \right )} + 1\right) \sin{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi$$
Численное решение
$$x_{1} = 9.42477796077$$
$$x_{2} = -15.7079632679$$
$$x_{3} = -25.1328674095$$
$$x_{4} = 84.8230016469$$
$$x_{5} = 37.6991667998$$
$$x_{6} = 31.4160561497$$
$$x_{7} = -81.6814156709$$
$$x_{8} = -50.2654115921$$
$$x_{9} = 65.9734457254$$
$$x_{10} = -53.407075111$$
$$x_{11} = 15.7079632679$$
$$x_{12} = 56.5485993085$$
$$x_{13} = -3.14159265359$$
$$x_{14} = 40.8407044967$$
$$x_{15} = -87.9646059734$$
$$x_{16} = -56.5485438719$$
$$x_{17} = 97.3893722613$$
$$x_{18} = 6.28310686973$$
$$x_{19} = 43.9824089313$$
$$x_{20} = -72.2566310326$$
$$x_{21} = 62.8317326283$$
$$x_{22} = 28.2743338823$$
$$x_{23} = -37.6991527323$$
$$x_{24} = -94.2477125451$$
$$x_{25} = -34.5575191895$$
$$x_{26} = -12.566243836$$
$$x_{27} = -91.1061869541$$
$$x_{28} = 75.3983371038$$
$$x_{29} = -9.42477796077$$
$$x_{30} = -81.6814265278$$
$$x_{31} = -69.1151673591$$
$$x_{32} = -65.9734457254$$
$$x_{33} = -75.3983026878$$
$$x_{34} = -6.28311070965$$
$$x_{35} = -59.6902604182$$
$$x_{36} = 87.9646679209$$
$$x_{37} = 81.6814908613$$
$$x_{38} = 72.2566310326$$
$$x_{39} = 78.5398163397$$
$$x_{40} = 50.2654784088$$
$$x_{41} = -37.6991249685$$
$$x_{42} = 6.28317667998$$
$$x_{43} = 59.6902604182$$
$$x_{44} = -47.1238898038$$
$$x_{45} = -43.9823032324$$
$$x_{46} = -31.4160020637$$
$$x_{47} = 87.9646063176$$
$$x_{48} = 18.8494325866$$
$$x_{49} = 75.3983560849$$
$$x_{50} = -21.9911485751$$
$$x_{51} = -97.3893722613$$
$$x_{52} = 34.5575191895$$
$$x_{53} = -100.530843957$$
$$x_{54} = 94.2477801895$$
$$x_{55} = 12.5662986015$$
$$x_{56} = 21.9911485751$$
$$x_{57} = 53.407075111$$
$$x_{58} = 43.9823032538$$
$$x_{59} = 37.6991901069$$
$$x_{60} = -78.5398163397$$
$$x_{61} = 0$$
$$x_{62} = 100.530900058$$
$$x_{63} = 50.2653660953$$
$$x_{64} = -28.2743338823$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sin(x)*(1 - cos(x)).
$$\left(- \cos{\left (0 \right )} + 1\right) \sin{\left (0 \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\left(- \cos{\left (x \right )} + 1\right) \cos{\left (x \right )} + \sin^{2}{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{3} = \frac{2 \pi}{3}$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 0)

             ___ 
 -2*pi  -3*\/ 3  
(-----, --------)
   3       4     

           ___ 
 2*pi  3*\/ 3  
(----, -------)
  3       4    

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{3} = - \frac{2 \pi}{3}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{3} = \frac{2 \pi}{3}$$
Убывает на промежутках

[-2*pi/3, 2*pi/3]

Возрастает на промежутках

(-oo, -2*pi/3] U [2*pi/3, oo)

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\left(4 \cos{\left (x \right )} - 1\right) \sin{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
$$x_{3} = - \operatorname{acos}{\left (\frac{1}{4} \right )} + 2 \pi$$
$$x_{4} = \operatorname{acos}{\left (\frac{1}{4} \right )}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[0, acos(1/4)] U [pi, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, 0]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- \cos{\left (x \right )} + 1\right) \sin{\left (x \right )}\right) = \langle -2, 2\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle -2, 2\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(- \cos{\left (x \right )} + 1\right) \sin{\left (x \right )}\right) = \langle -2, 2\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle -2, 2\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(x)*(1 - cos(x)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(- \cos{\left (x \right )} + 1\right) \sin{\left (x \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(- \cos{\left (x \right )} + 1\right) \sin{\left (x \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\left(- \cos{\left (x \right )} + 1\right) \sin{\left (x \right )} = - \left(- \cos{\left (x \right )} + 1\right) \sin{\left (x \right )}$$
- Нет
$$\left(- \cos{\left (x \right )} + 1\right) \sin{\left (x \right )} = - -1 \left(- \cos{\left (x \right )} + 1\right) \sin{\left (x \right )}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной