График функции y = sin(x^4)

Вы ввели

          / 4\
f(x) = sin\x /

$$f{\left(x \right)} = \sin{\left(x^{4} \right)}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sin{\left(x^{4} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \sqrt[4]{\pi}$$
$$x_{3} = \sqrt[4]{\pi}$$
Численное решение
$$x_{1} = 6.04483847750137$$
$$x_{2} = 2.52797809381993$$
$$x_{3} = 0$$
$$x_{4} = 5.549951704375$$
$$x_{5} = -7.27168353140049$$
$$x_{6} = 86.2480842721637$$
$$x_{7} = 33.4705089008294$$
$$x_{8} = -43.8262361980581$$
$$x_{9} = 26.024365151172$$
$$x_{10} = 70.3073765963099$$
$$x_{11} = 20.2551805664063$$
$$x_{12} = -9.95086674105102$$
$$x_{13} = -23.6296921162623$$
$$x_{14} = -75.7117924341966$$
$$x_{15} = -35.8108618404726$$
$$x_{16} = -80.9603095719975$$
$$x_{17} = -55.5019105353008$$
$$x_{18} = -7.02672405019611$$
$$x_{19} = -29.5234907720309$$
$$x_{20} = 8.36429480695184$$
$$x_{21} = -1.75213587482235$$
$$x_{22} = 15.9862230409504$$
$$x_{23} = 8.10852904395612$$
$$x_{24} = 46.2305852319654$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sin(x^4).
$$\sin{\left(0^{4} \right)}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =$$
первая производная
$$4 x^{3} \cos{\left(x^{4} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{2^{\frac{3}{4}} \sqrt[4]{\pi}}{2}$$
$$x_{3} = \frac{2^{\frac{3}{4}} \sqrt[4]{\pi}}{2}$$
$$x_{4} = - \frac{2^{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt[4]{3} \sqrt[4]{\pi}}{2}$$
$$x_{5} = \frac{2^{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt[4]{3} \sqrt[4]{\pi}}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 0)

   3/4 4 ____     
 -2   *\/ pi      
(-------------, 1)
       2          

  3/4 4 ____    
 2   *\/ pi     
(-----------, 1)
      2         

   3/4 4 ___ 4 ____      
 -2   *\/ 3 *\/ pi       
(-------------------, -1)
          2              

  3/4 4 ___ 4 ____     
 2   *\/ 3 *\/ pi      
(-----------------, -1)
         2             

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{2^{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt[4]{3} \sqrt[4]{\pi}}{2}$$
$$x_{3} = \frac{2^{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt[4]{3} \sqrt[4]{\pi}}{2}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{3} = - \frac{2^{\frac{3}{4}} \sqrt[4]{\pi}}{2}$$
$$x_{3} = \frac{2^{\frac{3}{4}} \sqrt[4]{\pi}}{2}$$
Убывает на промежутках
$$\left[\frac{2^{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt[4]{3} \sqrt[4]{\pi}}{2}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{2^{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt[4]{3} \sqrt[4]{\pi}}{2}\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =$$
вторая производная
$$4 x^{2} \left(- 4 x^{4} \sin{\left(x^{4} \right)} + 3 \cos{\left(x^{4} \right)}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -4.03049567044659$$
$$x_{2} = -5.76254479327897$$
$$x_{3} = -8.04291592714639$$
$$x_{4} = -1.75578473537135$$
$$x_{5} = -24.9671219275304$$
$$x_{6} = 2.23969362385977$$
$$x_{7} = 8.4851291552226$$
$$x_{8} = 8.13929096359393$$
$$x_{9} = -20.4809446712351$$
$$x_{10} = -3.5921906046669$$
$$x_{11} = 2.16635638156208$$
$$x_{12} = 0$$
$$x_{13} = -21.0214889070535$$
$$x_{14} = -3.91790815382005$$
$$x_{15} = 3.26114011677102$$
$$x_{16} = 8.79089311503372$$
$$x_{17} = -5.1097844089141$$
$$x_{18} = 16.0199510552353$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[16.0199510552353, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, -20.4809446712351\right]$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sin{\left(x^{4} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} \sin{\left(x^{4} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(x^4), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x^{4} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x^{4} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sin{\left(x^{4} \right)} = \sin{\left(x^{4} \right)}$$
- Да
$$\sin{\left(x^{4} \right)} = - \sin{\left(x^{4} \right)}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной

График