График функции y = sin(x)^9

Вы ввели

          9   
f(x) = sin (x)

$$f{\left (x \right )} = \sin^{9}{\left (x \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sin^{9}{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
Численное решение
$$x_{1} = 50.2640702311$$
$$x_{2} = 100.505792929$$
$$x_{3} = 59.7200873743$$
$$x_{4} = -97.4316669997$$
$$x_{5} = -43.9840492515$$
$$x_{6} = 28.2721144306$$
$$x_{7} = -81.6876599818$$
$$x_{8} = 65.9760736749$$
$$x_{9} = 3.10752999144$$
$$x_{10} = -94.2236457138$$
$$x_{11} = -21.9920246662$$
$$x_{12} = 87.9491418142$$
$$x_{13} = -37.7037514381$$
$$x_{14} = -15.7117964791$$
$$x_{15} = -31.4456085637$$
$$x_{16} = 21.9920246662$$
$$x_{17} = 78.5138843157$$
$$x_{18} = -59.6957059649$$
$$x_{19} = -50.2396994997$$
$$x_{20} = -97.4212607937$$
$$x_{21} = 94.2479821493$$
$$x_{22} = 87.9680978552$$
$$x_{23} = -65.9760736747$$
$$x_{24} = 56.5219789197$$
$$x_{25} = 72.2560261622$$
$$x_{26} = -9.45371699572$$
$$x_{27} = -75.4293805502$$
$$x_{28} = 6.28015883558$$
$$x_{29} = -53.4087098349$$
$$x_{30} = 34.5300768389$$
$$x_{31} = 78.4978230726$$
$$x_{32} = 43.9840492515$$
$$x_{33} = -53.4374964446$$
$$x_{34} = 37.7281395605$$
$$x_{35} = 81.7120301477$$
$$x_{36} = 15.7361868314$$
$$x_{37} = -28.2477328399$$
$$x_{38} = -87.9680978517$$
$$x_{39} = -6.25577068138$$
$$x_{40} = -72.2316705101$$
$$x_{41} = 0$$
$$x_{42} = 12.5381781692$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sin(x)^9.
$$\sin^{9}{\left (0 \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$9 \sin^{8}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \pi$$
$$x_{4} = \frac{3 \pi}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 0)

 pi    
(--, 1)
 2     

(pi, 0)

 3*pi     
(----, -1)
  2       

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{4} = \frac{3 \pi}{2}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{4} = \frac{\pi}{2}$$
Убывает на промежутках

(-oo, pi/2] U [3*pi/2, oo)

Возрастает на промежутках

[pi/2, 3*pi/2]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$9 \left(- \sin^{2}{\left (x \right )} + 8 \cos^{2}{\left (x \right )}\right) \sin^{7}{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
$$x_{3} = - 2 \operatorname{atan}{\left (\frac{\sqrt{2}}{2} \right )}$$
$$x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left (\frac{\sqrt{2}}{2} \right )}$$
$$x_{5} = - 2 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{2} \right )}$$
$$x_{6} = 2 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{2} \right )}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[2*atan(sqrt(2)), oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, -2*atan(sqrt(2))]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sin^{9}{\left (x \right )} = \langle -1, 1\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle -1, 1\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} \sin^{9}{\left (x \right )} = \langle -1, 1\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle -1, 1\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(x)^9, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \sin^{9}{\left (x \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \sin^{9}{\left (x \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sin^{9}{\left (x \right )} = - \sin^{9}{\left (x \right )}$$
- Нет
$$\sin^{9}{\left (x \right )} = - -1 \sin^{9}{\left (x \right )}$$
- Да
значит, функция
является
нечётной