График функции y = sin(x)^9

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
          9   
f(x) = sin (x)
f(x)=sin9(x)f{\left (x \right )} = \sin^{9}{\left (x \right )}
График функции
0-2000-1500-1000-5005001000150020002-2
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
sin9(x)=0\sin^{9}{\left (x \right )} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi
Численное решение
x1=50.2640702311x_{1} = 50.2640702311
x2=100.505792929x_{2} = 100.505792929
x3=59.7200873743x_{3} = 59.7200873743
x4=97.4316669997x_{4} = -97.4316669997
x5=43.9840492515x_{5} = -43.9840492515
x6=28.2721144306x_{6} = 28.2721144306
x7=81.6876599818x_{7} = -81.6876599818
x8=65.9760736749x_{8} = 65.9760736749
x9=3.10752999144x_{9} = 3.10752999144
x10=94.2236457138x_{10} = -94.2236457138
x11=21.9920246662x_{11} = -21.9920246662
x12=87.9491418142x_{12} = 87.9491418142
x13=37.7037514381x_{13} = -37.7037514381
x14=15.7117964791x_{14} = -15.7117964791
x15=31.4456085637x_{15} = -31.4456085637
x16=21.9920246662x_{16} = 21.9920246662
x17=78.5138843157x_{17} = 78.5138843157
x18=59.6957059649x_{18} = -59.6957059649
x19=50.2396994997x_{19} = -50.2396994997
x20=97.4212607937x_{20} = -97.4212607937
x21=94.2479821493x_{21} = 94.2479821493
x22=87.9680978552x_{22} = 87.9680978552
x23=65.9760736747x_{23} = -65.9760736747
x24=56.5219789197x_{24} = 56.5219789197
x25=72.2560261622x_{25} = 72.2560261622
x26=9.45371699572x_{26} = -9.45371699572
x27=75.4293805502x_{27} = -75.4293805502
x28=6.28015883558x_{28} = 6.28015883558
x29=53.4087098349x_{29} = -53.4087098349
x30=34.5300768389x_{30} = 34.5300768389
x31=78.4978230726x_{31} = 78.4978230726
x32=43.9840492515x_{32} = 43.9840492515
x33=53.4374964446x_{33} = -53.4374964446
x34=37.7281395605x_{34} = 37.7281395605
x35=81.7120301477x_{35} = 81.7120301477
x36=15.7361868314x_{36} = 15.7361868314
x37=28.2477328399x_{37} = -28.2477328399
x38=87.9680978517x_{38} = -87.9680978517
x39=6.25577068138x_{39} = -6.25577068138
x40=72.2316705101x_{40} = -72.2316705101
x41=0x_{41} = 0
x42=12.5381781692x_{42} = 12.5381781692
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sin(x)^9.
sin9(0)\sin^{9}{\left (0 \right )}
Результат:
f(0)=0f{\left (0 \right )} = 0
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
9sin8(x)cos(x)=09 \sin^{8}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=0x_{1} = 0
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
x3=πx_{3} = \pi
x4=3π2x_{4} = \frac{3 \pi}{2}
Зн. экстремумы в точках:
(0, 0)

 pi    
(--, 1)
 2     

(pi, 0)

 3*pi     
(----, -1)
  2       


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x4=3π2x_{4} = \frac{3 \pi}{2}
Максимумы функции в точках:
x4=π2x_{4} = \frac{\pi}{2}
Убывает на промежутках
(-oo, pi/2] U [3*pi/2, oo)

Возрастает на промежутках
[pi/2, 3*pi/2]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =
Вторая производная
9(sin2(x)+8cos2(x))sin7(x)=09 \left(- \sin^{2}{\left (x \right )} + 8 \cos^{2}{\left (x \right )}\right) \sin^{7}{\left (x \right )} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi
x3=2atan(22)x_{3} = - 2 \operatorname{atan}{\left (\frac{\sqrt{2}}{2} \right )}
x4=2atan(22)x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left (\frac{\sqrt{2}}{2} \right )}
x5=2atan(2)x_{5} = - 2 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{2} \right )}
x6=2atan(2)x_{6} = 2 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{2} \right )}

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[2*atan(sqrt(2)), oo)

Выпуклая на промежутках
(-oo, -2*atan(sqrt(2))]
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limxsin9(x)=1,1\lim_{x \to -\infty} \sin^{9}{\left (x \right )} = \langle -1, 1\rangle
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=1,1y = \langle -1, 1\rangle
limxsin9(x)=1,1\lim_{x \to \infty} \sin^{9}{\left (x \right )} = \langle -1, 1\rangle
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=1,1y = \langle -1, 1\rangle
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(x)^9, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(1xsin9(x))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \sin^{9}{\left (x \right )}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
limx(1xsin9(x))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \sin^{9}{\left (x \right )}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
sin9(x)=sin9(x)\sin^{9}{\left (x \right )} = - \sin^{9}{\left (x \right )}
- Нет
sin9(x)=1sin9(x)\sin^{9}{\left (x \right )} = - -1 \sin^{9}{\left (x \right )}
- Да
значит, функция
является
нечётной