График функции y = sin(x)^2

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
          2   
f(x) = sin (x)
f(x)=sin2(x)f{\left(x \right)} = \sin^{2}{\left(x \right)}
График функции
0-10102030405060708002
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
sin2(x)=0\sin^{2}{\left(x \right)} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi
Численное решение
x1=18.8495556944209x_{1} = -18.8495556944209
x2=84.8230014093114x_{2} = 84.8230014093114
x3=3.14159311568248x_{3} = -3.14159311568248
x4=21.9911485864515x_{4} = -21.9911485864515
x5=12.5663703661411x_{5} = -12.5663703661411
x6=81.6814090380061x_{6} = -81.6814090380061
x7=43.982297169427x_{7} = 43.982297169427
x8=53.4070756765307x_{8} = 53.4070756765307
x9=84.8230010166547x_{9} = 84.8230010166547
x10=56.5486676091327x_{10} = 56.5486676091327
x11=56.5486675191652x_{11} = -56.5486675191652
x12=21.9911485851964x_{12} = 21.9911485851964
x13=62.8318528379059x_{13} = -62.8318528379059
x14=59.6902604576401x_{14} = -59.6902604576401
x15=59.6902605976901x_{15} = 59.6902605976901
x16=100.530964672522x_{16} = -100.530964672522
x17=47.1238900492539x_{17} = -47.1238900492539
x18=25.1327414478072x_{18} = 25.1327414478072
x19=53.4070753627408x_{19} = 53.4070753627408
x20=87.9645943587732x_{20} = -87.9645943587732
x21=97.3893727097471x_{21} = 97.3893727097471
x22=94.2477794529919x_{22} = -94.2477794529919
x23=50.2654824463473x_{23} = 50.2654824463473
x24=72.2566308741333x_{24} = -72.2566308741333
x25=91.1061871583643x_{25} = 91.1061871583643
x26=9.42477821024198x_{26} = 9.42477821024198
x27=6.28318513794069x_{27} = -6.28318513794069
x28=31.4159267959754x_{28} = -31.4159267959754
x29=69.1150386253436x_{29} = -69.1150386253436
x30=28.2743337166085x_{30} = -28.2743337166085
x31=47.123890018392x_{31} = 47.123890018392
x32=97.3893724403711x_{32} = -97.3893724403711
x33=18.8495561207399x_{33} = -18.8495561207399
x34=84.82300141007x_{34} = -84.82300141007
x35=106.814150357553x_{35} = -106.814150357553
x36=15.7079632965264x_{36} = -15.7079632965264
x37=3.14159244884412x_{37} = 3.14159244884412
x38=75.3982238620294x_{38} = -75.3982238620294
x39=31.4159267865366x_{39} = 31.4159267865366
x40=34.5575189426108x_{40} = -34.5575189426108
x41=31.4159267051849x_{41} = -31.4159267051849
x42=78.5398160958028x_{42} = -78.5398160958028
x43=91.106187201329x_{43} = -91.106187201329
x44=25.132741632083x_{44} = -25.132741632083
x45=15.7079634406648x_{45} = 15.7079634406648
x46=6.28318528425126x_{46} = 6.28318528425126
x47=25.1327410188866x_{47} = 25.1327410188866
x48=34.5575190304759x_{48} = 34.5575190304759
x49=0x_{49} = 0
x50=84.8230018263493x_{50} = -84.8230018263493
x51=62.8318528326557x_{51} = 62.8318528326557
x52=28.2743338652012x_{52} = 28.2743338652012
x53=18.8495554002244x_{53} = 18.8495554002244
x54=69.1150385885879x_{54} = 69.1150385885879
x55=91.1061867314459x_{55} = 91.1061867314459
x56=100.530964766599x_{56} = 100.530964766599
x57=91.1061872003049x_{57} = -91.1061872003049
x58=12.5663700417108x_{58} = -12.5663700417108
x59=34.5575189701076x_{59} = -34.5575189701076
x60=3.14159287686128x_{60} = 3.14159287686128
x61=25.132741473063x_{61} = -25.132741473063
x62=78.5398161878405x_{62} = 78.5398161878405
x63=69.1150381602162x_{63} = 69.1150381602162
x64=9.42477859080277x_{64} = 9.42477859080277
x65=40.8407042660168x_{65} = -40.8407042660168
x66=72.256631027719x_{66} = 72.256631027719
x67=43.9822971745789x_{67} = -43.9822971745789
x68=40.840703919946x_{68} = 40.840703919946
x69=94.2477796093525x_{69} = 94.2477796093525
x70=75.3982241944528x_{70} = 75.3982241944528
x71=47.123889589354x_{71} = 47.123889589354
x72=69.1150386737158x_{72} = -69.1150386737158
x73=3.14159289677385x_{73} = -3.14159289677385
x74=18.8495556796107x_{74} = 18.8495556796107
x75=1734.15914475848x_{75} = -1734.15914475848
x76=65.9734457650176x_{76} = -65.9734457650176
x77=65.9734457528975x_{77} = 65.9734457528975
x78=47.123890151099x_{78} = -47.123890151099
x79=31.4159271479423x_{79} = 31.4159271479423
x80=62.8318524523063x_{80} = 62.8318524523063
x81=40.8407046898283x_{81} = -40.8407046898283
x82=37.6991118771514x_{82} = -37.6991118771514
x83=97.3893725148693x_{83} = 97.3893725148693
x84=37.6991120192083x_{84} = 37.6991120192083
x85=75.3982239388525x_{85} = 75.3982239388525
x86=9.42477812668337x_{86} = -9.42477812668337
x87=50.2654822953391x_{87} = -50.2654822953391
x88=12.5663704518704x_{88} = 12.5663704518704
x89=87.9645943357576x_{89} = 87.9645943357576
x90=53.4070752836338x_{90} = -53.4070752836338
x91=62.8318532583801x_{91} = -62.8318532583801
x92=40.8407042560881x_{92} = 40.8407042560881
x93=81.6814091761104x_{93} = 81.6814091761104
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sin(x)^2.
sin2(0)\sin^{2}{\left(0 \right)}
Результат:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
первая производная
2sin(x)cos(x)=02 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=0x_{1} = 0
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
x3=πx_{3} = \pi
x4=3π2x_{4} = \frac{3 \pi}{2}
Зн. экстремумы в точках:
(0, 0)

 pi    
(--, 1)
 2     

(pi, 0)

 3*pi    
(----, 1)
  2      


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi
Максимумы функции в точках:
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
x2=3π2x_{2} = \frac{3 \pi}{2}
Убывает на промежутках
[0,π2][π,)\left[0, \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\pi, \infty\right)
Возрастает на промежутках
(,0]\left(-\infty, 0\right]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
вторая производная
2(sin2(x)+cos2(x))=02 \left(- \sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=π4x_{1} = - \frac{\pi}{4}
x2=π4x_{2} = \frac{\pi}{4}

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[π4,π4]\left[- \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]
Выпуклая на промежутках
(,π4][π4,)\left(-\infty, - \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{\pi}{4}, \infty\right)
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limxsin2(x)=0,1\lim_{x \to -\infty} \sin^{2}{\left(x \right)} = \left\langle 0, 1\right\rangle
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=0,1y = \left\langle 0, 1\right\rangle
limxsin2(x)=0,1\lim_{x \to \infty} \sin^{2}{\left(x \right)} = \left\langle 0, 1\right\rangle
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=0,1y = \left\langle 0, 1\right\rangle
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(x)^2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(sin2(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
limx(sin2(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
sin2(x)=sin2(x)\sin^{2}{\left(x \right)} = \sin^{2}{\left(x \right)}
- Да
sin2(x)=sin2(x)\sin^{2}{\left(x \right)} = - \sin^{2}{\left(x \right)}
- Нет
значит, функция
является
чётной
График
График функции y = sin(x)^2 /media/krcore-image-pods/hash/xy/e/fc/a0cdb4718e8cfea1c913e024d8ac8.png