Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
sin2(x)=0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
x1=0
x2=π
Численное решение
x1=−18.8495556944209
x2=84.8230014093114
x3=−3.14159311568248
x4=−21.9911485864515
x5=−12.5663703661411
x6=−81.6814090380061
x7=43.982297169427
x8=53.4070756765307
x9=84.8230010166547
x10=56.5486676091327
x11=−56.5486675191652
x12=21.9911485851964
x13=−62.8318528379059
x14=−59.6902604576401
x15=59.6902605976901
x16=−100.530964672522
x17=−47.1238900492539
x18=25.1327414478072
x19=53.4070753627408
x20=−87.9645943587732
x21=97.3893727097471
x22=−94.2477794529919
x23=50.2654824463473
x24=−72.2566308741333
x25=91.1061871583643
x26=9.42477821024198
x27=−6.28318513794069
x28=−31.4159267959754
x29=−69.1150386253436
x30=−28.2743337166085
x31=47.123890018392
x32=−97.3893724403711
x33=−18.8495561207399
x34=−84.82300141007
x35=−106.814150357553
x36=−15.7079632965264
x37=3.14159244884412
x38=−75.3982238620294
x39=31.4159267865366
x40=−34.5575189426108
x41=−31.4159267051849
x42=−78.5398160958028
x43=−91.106187201329
x44=−25.132741632083
x45=15.7079634406648
x46=6.28318528425126
x47=25.1327410188866
x48=34.5575190304759
x49=0
x50=−84.8230018263493
x51=62.8318528326557
x52=28.2743338652012
x53=18.8495554002244
x54=69.1150385885879
x55=91.1061867314459
x56=100.530964766599
x57=−91.1061872003049
x58=−12.5663700417108
x59=−34.5575189701076
x60=3.14159287686128
x61=−25.132741473063
x62=78.5398161878405
x63=69.1150381602162
x64=9.42477859080277
x65=−40.8407042660168
x66=72.256631027719
x67=−43.9822971745789
x68=40.840703919946
x69=94.2477796093525
x70=75.3982241944528
x71=47.123889589354
x72=−69.1150386737158
x73=−3.14159289677385
x74=18.8495556796107
x75=−1734.15914475848
x76=−65.9734457650176
x77=65.9734457528975
x78=−47.123890151099
x79=31.4159271479423
x80=62.8318524523063
x81=−40.8407046898283
x82=−37.6991118771514
x83=97.3893725148693
x84=37.6991120192083
x85=75.3982239388525
x86=−9.42477812668337
x87=−50.2654822953391
x88=12.5663704518704
x89=87.9645943357576
x90=−53.4070752836338
x91=−62.8318532583801
x92=40.8407042560881
x93=81.6814091761104
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sin(x)^2.
sin2(0)
Результат:
f(0)=0
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
dxdf(x)=0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
dxdf(x)=
первая производная
2sin(x)cos(x)=0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=0
x2=2π
x3=π
x4=23π
Зн. экстремумы в точках:
(0, 0)
pi
(--, 1)
2
(pi, 0)
3*pi
(----, 1)
2
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x1=0
x2=π
Максимумы функции в точках:
x2=2π
x2=23π
Убывает на промежутках
[0,2π]∪[π,∞)
Возрастает на промежутках
(−∞,0]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
dx2d2f(x)=0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
dx2d2f(x)=
вторая производная
2(−sin2(x)+cos2(x))=0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=−4π
x2=4π
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[−4π,4π]
Выпуклая на промежутках
(−∞,−4π]∪[4π,∞)
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
x→−∞limsin2(x)=⟨0,1⟩
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=⟨0,1⟩
x→∞limsin2(x)=⟨0,1⟩
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=⟨0,1⟩
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(x)^2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
x→−∞lim(xsin2(x))=0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
x→∞lim(xsin2(x))=0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
sin2(x)=sin2(x)
- Да
sin2(x)=−sin2(x)
- Нет
значит, функция
является
чётной