График функции y = sin(x)^(2)-cos(x)

Вы ввели

          2            
f(x) = sin (x) - cos(x)

$$f{\left (x \right )} = \sin^{2}{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sin^{2}{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{-2 + \sqrt{5}} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{-2 + \sqrt{5}} \right )}$$
Численное решение
$$x_{1} = 5.37862841288$$
$$x_{2} = -63.7364099661$$
$$x_{3} = -80.776852099$$
$$x_{4} = -93.3432227134$$
$$x_{5} = 68.2104814847$$
$$x_{6} = -13.4709275087$$
$$x_{7} = -24.2281843344$$
$$x_{8} = 19.7541128158$$
$$x_{9} = 26.037298123$$
$$x_{10} = -1004.40509225$$
$$x_{11} = 63.7364099661$$
$$x_{12} = -68.2104814847$$
$$x_{13} = -70.0195952733$$
$$x_{14} = -5.37862841288$$
$$x_{15} = -17.9449990272$$
$$x_{16} = 74.4936667919$$
$$x_{17} = -57.4532246589$$
$$x_{18} = 17.9449990272$$
$$x_{19} = 55.6441108703$$
$$x_{20} = 44.8868540446$$
$$x_{21} = -61.9272961775$$
$$x_{22} = -99.6264080206$$
$$x_{23} = -26.037298123$$
$$x_{24} = 99.6264080206$$
$$x_{25} = -76.3027805805$$
$$x_{26} = 101.435521809$$
$$x_{27} = 88.8691511948$$
$$x_{28} = -19.7541128158$$
$$x_{29} = -44.8868540446$$
$$x_{30} = 32.3204834302$$
$$x_{31} = 187.591002321$$
$$x_{32} = 61.9272961775$$
$$x_{33} = -74.4936667919$$
$$x_{34} = 57.4532246589$$
$$x_{35} = 76.3027805805$$
$$x_{36} = 70.0195952733$$
$$x_{37} = -32.3204834302$$
$$x_{38} = -139.134633652$$
$$x_{39} = 24.2281843344$$
$$x_{40} = -36.7945549488$$
$$x_{41} = 36.7945549488$$
$$x_{42} = -38.6036687374$$
$$x_{43} = 11.6618137201$$
$$x_{44} = 7.18774220148$$
$$x_{45} = 38.6036687374$$
$$x_{46} = -0.904556894302$$
$$x_{47} = 43.077740256$$
$$x_{48} = -82.5859658876$$
$$x_{49} = 95.152336502$$
$$x_{50} = -49.3609255631$$
$$x_{51} = 51.1700393517$$
$$x_{52} = -200.157372935$$
$$x_{53} = 87.0600374062$$
$$x_{54} = -88.8691511948$$
$$x_{55} = 49.3609255631$$
$$x_{56} = -55.6441108703$$
$$x_{57} = -30.5113696416$$
$$x_{58} = -95.152336502$$
$$x_{59} = 80.776852099$$
$$x_{60} = 2141.66163285$$
$$x_{61} = 13.4709275087$$
$$x_{62} = 30.5113696416$$
$$x_{63} = 82.5859658876$$
$$x_{64} = -7.18774220148$$
$$x_{65} = -51.1700393517$$
$$x_{66} = -11.6618137201$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sin(x)^2 - cos(x).
$$- \cos{\left (0 \right )} + \sin^{2}{\left (0 \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = -1$$
Точка:

(0, -1)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$2 \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{3} = \frac{2 \pi}{3}$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, -1)

 -2*pi      
(-----, 5/4)
   3        

 2*pi      
(----, 5/4)
  3        

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{3} = 0$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{3} = - \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{3} = \frac{2 \pi}{3}$$
Убывает на промежутках

(-oo, -2*pi/3] U [0, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, 0] U [2*pi/3, oo)

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$- 2 \sin^{2}{\left (x \right )} + 2 \cos^{2}{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{- \sqrt{33} + 6} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{- \sqrt{33} + 6} \right )}$$
$$x_{3} = - 2 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{\sqrt{33} + 6} \right )}$$
$$x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{\sqrt{33} + 6} \right )}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[2*atan(sqrt(sqrt(33) + 6)), oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, -2*atan(sqrt(-sqrt(33) + 6))] U [2*atan(sqrt(-sqrt(33) + 6)), 2*atan(sqrt(sqrt(33) + 6))]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sin^{2}{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )}\right) = \langle -1, 2\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle -1, 2\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sin^{2}{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )}\right) = \langle -1, 2\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle -1, 2\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(x)^2 - cos(x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(\sin^{2}{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )}\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(\sin^{2}{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )}\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sin^{2}{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )} = \sin^{2}{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )}$$
- Да
$$\sin^{2}{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )} = - \sin^{2}{\left (x \right )} - - \cos{\left (x \right )}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной