График функции y = sin(x)^(2)-sin(x)

Вы ввели

          2            
f(x) = sin (x) - sin(x)

$$f{\left (x \right )} = \sin^{2}{\left (x \right )} - \sin{\left (x \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sin^{2}{\left (x \right )} - \sin{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \pi$$
Численное решение
$$x_{1} = -92.6769832292$$
$$x_{2} = 76.969019673$$
$$x_{3} = 97.3893722613$$
$$x_{4} = 78.5398163397$$
$$x_{5} = -23.5619450064$$
$$x_{6} = 9.42477796077$$
$$x_{7} = 56.5486677646$$
$$x_{8} = 18.8495559215$$
$$x_{9} = -54.9778709863$$
$$x_{10} = 39.2699080281$$
$$x_{11} = 7.85398173796$$
$$x_{12} = 12.5663706144$$
$$x_{13} = -97.3893722613$$
$$x_{14} = -4.71238903614$$
$$x_{15} = -10.9955747331$$
$$x_{16} = -78.5398163397$$
$$x_{17} = 43.9822971503$$
$$x_{18} = -42.4115006392$$
$$x_{19} = 120.951318648$$
$$x_{20} = -87.9645943005$$
$$x_{21} = 62.8318530718$$
$$x_{22} = -36.1283154212$$
$$x_{23} = 87.9645943005$$
$$x_{24} = 95.8185760549$$
$$x_{25} = 70.6858345286$$
$$x_{26} = 83.2522058002$$
$$x_{27} = -84.8230016469$$
$$x_{28} = 76.9690200977$$
$$x_{29} = 59.6902604182$$
$$x_{30} = -21.9911485751$$
$$x_{31} = -37.6991118431$$
$$x_{32} = 21.9911485751$$
$$x_{33} = 45.5530936635$$
$$x_{34} = 47.1238898038$$
$$x_{35} = 0$$
$$x_{36} = -94.2477796077$$
$$x_{37} = 15.7079632679$$
$$x_{38} = 50.2654824574$$
$$x_{39} = -53.407075111$$
$$x_{40} = -59.6902604182$$
$$x_{41} = 28.2743338823$$
$$x_{42} = -25.1327412287$$
$$x_{43} = -43.9822971503$$
$$x_{44} = -81.6814089933$$
$$x_{45} = 69.115038379$$
$$x_{46} = 72.2566310326$$
$$x_{47} = -6.28318530718$$
$$x_{48} = -65.9734457254$$
$$x_{49} = -72.2566310326$$
$$x_{50} = -61.2610569243$$
$$x_{51} = -80.110612581$$
$$x_{52} = -29.8451300973$$
$$x_{53} = -86.3937977915$$
$$x_{54} = 91.1061869541$$
$$x_{55} = -62.8318530718$$
$$x_{56} = -18.8495559215$$
$$x_{57} = 94.2477796077$$
$$x_{58} = -15.7079632679$$
$$x_{59} = 20.4203521518$$
$$x_{60} = 1.57079651245$$
$$x_{61} = -4.71238883058$$
$$x_{62} = 81.6814089933$$
$$x_{63} = 65.9734457254$$
$$x_{64} = 3.14159265359$$
$$x_{65} = -67.5442421643$$
$$x_{66} = 100.530964915$$
$$x_{67} = 83.2522050601$$
$$x_{68} = -54.9778717129$$
$$x_{69} = 25.1327412287$$
$$x_{70} = -1564.51314149$$
$$x_{71} = -10.9955739732$$
$$x_{72} = -34.5575191895$$
$$x_{73} = 14.1371670986$$
$$x_{74} = -17.2787597741$$
$$x_{75} = 32.986722369$$
$$x_{76} = -75.3982236862$$
$$x_{77} = 58.1194647432$$
$$x_{78} = -69.115038379$$
$$x_{79} = -9.42477796077$$
$$x_{80} = 6.28318530718$$
$$x_{81} = 89.5353908138$$
$$x_{82} = 51.8362788967$$
$$x_{83} = -50.2654824574$$
$$x_{84} = -48.6946861243$$
$$x_{85} = 26.7035373769$$
$$x_{86} = -31.4159265359$$
$$x_{87} = -73.8274272802$$
$$x_{88} = 34.5575191895$$
$$x_{89} = 32.9867230449$$
$$x_{90} = 37.6991118431$$
$$x_{91} = 53.407075111$$
$$x_{92} = 39.2699086389$$
$$x_{93} = -40.8407044967$$
$$x_{94} = 64.4026493103$$
$$x_{95} = -28.2743338823$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sin(x)^2 - sin(x).
$$\sin^{2}{\left (0 \right )} - \sin{\left (0 \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =$$
Первая производная
$$2 \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{3} + 2 \right )}$$
Зн. экстремумы в точках:

 -pi     
(----, 2)
  2      

 pi       
(--, -1/4)
 6        

 pi    
(--, 0)
 2     

       /      ___\     2/      /      ___\\      /      /      ___\\ 
(2*atan\2 + \/ 3 /, sin \2*atan\2 + \/ 3 // - sin\2*atan\2 + \/ 3 //)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{4} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{3} + 2 \right )}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{4} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{4} = \frac{\pi}{2}$$
Убывает на промежутках

[2*atan(sqrt(3) + 2), oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, pi/6] U [pi/2, 2*atan(sqrt(3) + 2)]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =$$
Вторая производная
$$- 2 \sin^{2}{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )} + 2 \cos^{2}{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left (- \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} \sqrt{- \sqrt{33} + 9} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right )}$$
$$x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left (\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} \sqrt{\sqrt{33} + 9} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right )}$$
$$x_{3} = - 2 \operatorname{atan}{\left (- \frac{\sqrt{33}}{4} + \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} \sqrt{- \sqrt{33} + 9} \right )}$$
$$x_{4} = - 2 \operatorname{atan}{\left (- \frac{\sqrt{2}}{4} \sqrt{\sqrt{33} + 9} + \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right )}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[2*atan(-1/4 + sqrt(2)*sqrt(-sqrt(33) + 9)/4 + sqrt(33)/4), oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, -2*atan(-sqrt(2)*sqrt(sqrt(33) + 9)/4 + 1/4 + sqrt(33)/4)] U [-2*atan(-sqrt(33)/4 + 1/4 + sqrt(2)*sqrt(-sqrt(33) + 9)/4), 2*atan(-1/4 + sqrt(2)*sqrt(-sqrt(33) + 9)/4 + sqrt(33)/4)]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sin^{2}{\left (x \right )} - \sin{\left (x \right )}\right) = \langle -1, 2\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle -1, 2\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sin^{2}{\left (x \right )} - \sin{\left (x \right )}\right) = \langle -1, 2\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle -1, 2\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(x)^2 - sin(x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(\sin^{2}{\left (x \right )} - \sin{\left (x \right )}\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(\sin^{2}{\left (x \right )} - \sin{\left (x \right )}\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sin^{2}{\left (x \right )} - \sin{\left (x \right )} = \sin^{2}{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )}$$
- Нет
$$\sin^{2}{\left (x \right )} - \sin{\left (x \right )} = - \sin^{2}{\left (x \right )} - \sin{\left (x \right )}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной