График функции y = sin(x)^(2)+sin(x)

Вы ввели

          2            
f(x) = sin (x) + sin(x)

$$f{\left (x \right )} = \sin^{2}{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sin^{2}{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \pi$$
$$x_{4} = \frac{3 \pi}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = -89.5353907431$$
$$x_{2} = 84.8230016469$$
$$x_{3} = -32.986722473$$
$$x_{4} = -12.5663706144$$
$$x_{5} = 78.5398163397$$
$$x_{6} = 56.5486677646$$
$$x_{7} = 75.3982236862$$
$$x_{8} = -76.9690196112$$
$$x_{9} = 98.9601686349$$
$$x_{10} = -76.96902017$$
$$x_{11} = 12.5663706144$$
$$x_{12} = 80.1106131505$$
$$x_{13} = -97.3893722613$$
$$x_{14} = -26.7035375777$$
$$x_{15} = 54.9778715673$$
$$x_{16} = 43.9822971503$$
$$x_{17} = 42.411500731$$
$$x_{18} = -3.14159265359$$
$$x_{19} = 92.6769831048$$
$$x_{20} = 61.2610565485$$
$$x_{21} = -95.8185758682$$
$$x_{22} = 87.9645943005$$
$$x_{23} = 23.561945088$$
$$x_{24} = -83.2522054991$$
$$x_{25} = -84.8230016469$$
$$x_{26} = -70.685834675$$
$$x_{27} = 59.6902604182$$
$$x_{28} = -47.1238898038$$
$$x_{29} = -21.9911485751$$
$$x_{30} = -37.6991118431$$
$$x_{31} = 31.4159265359$$
$$x_{32} = -45.5530935854$$
$$x_{33} = 21.9911485751$$
$$x_{34} = -100.530964915$$
$$x_{35} = 61.2610572408$$
$$x_{36} = 47.1238898038$$
$$x_{37} = 0$$
$$x_{38} = -1.57079642735$$
$$x_{39} = -94.2477796077$$
$$x_{40} = 17.2787594995$$
$$x_{41} = 48.6946859527$$
$$x_{42} = 73.8274274758$$
$$x_{43} = 15.7079632679$$
$$x_{44} = 50.2654824574$$
$$x_{45} = -53.407075111$$
$$x_{46} = -59.6902604182$$
$$x_{47} = 28.2743338823$$
$$x_{48} = -43.9822971503$$
$$x_{49} = -81.6814089933$$
$$x_{50} = 10.9955745314$$
$$x_{51} = 69.115038379$$
$$x_{52} = 36.1283157927$$
$$x_{53} = -91.1061869541$$
$$x_{54} = 72.2566310326$$
$$x_{55} = -6.28318530718$$
$$x_{56} = 40.8407044967$$
$$x_{57} = -51.8362785033$$
$$x_{58} = -72.2566310326$$
$$x_{59} = -56.5486677646$$
$$x_{60} = 86.3937978896$$
$$x_{61} = 91.1061869541$$
$$x_{62} = -62.8318530718$$
$$x_{63} = -18.8495559215$$
$$x_{64} = 94.2477796077$$
$$x_{65} = 67.5442422387$$
$$x_{66} = -20.4203520633$$
$$x_{67} = -15.7079632679$$
$$x_{68} = -58.1194640011$$
$$x_{69} = -65.9734457254$$
$$x_{70} = 81.6814089933$$
$$x_{71} = 65.9734457254$$
$$x_{72} = 3.14159265359$$
$$x_{73} = 100.530964915$$
$$x_{74} = 54.9778709836$$
$$x_{75} = -14.1371668416$$
$$x_{76} = -51.8362786902$$
$$x_{77} = 10.9955738002$$
$$x_{78} = 98.9601685293$$
$$x_{79} = 29.8451303174$$
$$x_{80} = 25.1327412287$$
$$x_{81} = -64.4026492153$$
$$x_{82} = -89.535390116$$
$$x_{83} = -34.5575191895$$
$$x_{84} = -32.986723236$$
$$x_{85} = -31.4159265359$$
$$x_{86} = -75.3982236862$$
$$x_{87} = -9.42477796077$$
$$x_{88} = 6.28318530718$$
$$x_{89} = -87.9645943005$$
$$x_{90} = 17.2787599719$$
$$x_{91} = -7.85398150062$$
$$x_{92} = -50.2654824574$$
$$x_{93} = 4.71238880127$$
$$x_{94} = -39.2699083493$$
$$x_{95} = 34.5575191895$$
$$x_{96} = 37.6991118431$$
$$x_{97} = -26.7035379973$$
$$x_{98} = -40.8407044967$$
$$x_{99} = -28.2743338823$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sin(x)^2 + sin(x).
$$\sin^{2}{\left (0 \right )} + \sin{\left (0 \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$2 \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{6}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{4} = - 2 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{3} + 2 \right )}$$
Зн. экстремумы в точках:

 -pi     
(----, 0)
  2      

 -pi        
(----, -1/4)
  6         

 pi    
(--, 2)
 2     

        /      ___\     2/      /      ___\\      /      /      ___\\ 
(-2*atan\2 + \/ 3 /, sin \2*atan\2 + \/ 3 // - sin\2*atan\2 + \/ 3 //)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{4} = - \frac{\pi}{6}$$
$$x_{4} = - 2 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{3} + 2 \right )}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{4} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{4} = \frac{\pi}{2}$$
Убывает на промежутках

[-2*atan(sqrt(3) + 2), -pi/2] U [-pi/6, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, -2*atan(sqrt(3) + 2)]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$- 2 \sin^{2}{\left (x \right )} - \sin{\left (x \right )} + 2 \cos^{2}{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left (- \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} \sqrt{- \sqrt{33} + 9} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left (\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} \sqrt{\sqrt{33} + 9} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right )}$$
$$x_{3} = 2 \operatorname{atan}{\left (- \frac{\sqrt{33}}{4} + \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} \sqrt{- \sqrt{33} + 9} \right )}$$
$$x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left (- \frac{\sqrt{2}}{4} \sqrt{\sqrt{33} + 9} + \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right )}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[2*atan(1/4 + sqrt(2)*sqrt(sqrt(33) + 9)/4 + sqrt(33)/4), oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, 2*atan(-sqrt(33)/4 + 1/4 + sqrt(2)*sqrt(-sqrt(33) + 9)/4)] U [2*atan(-sqrt(2)*sqrt(sqrt(33) + 9)/4 + 1/4 + sqrt(33)/4), 2*atan(1/4 + sqrt(2)*sqrt(sqrt(33) + 9)/4 + sqrt(33)/4)]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )}\right) = \langle -1, 2\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle -1, 2\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )}\right) = \langle -1, 2\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle -1, 2\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(x)^2 + sin(x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )}\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )}\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sin^{2}{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )} = \sin^{2}{\left (x \right )} - \sin{\left (x \right )}$$
- Нет
$$\sin^{2}{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )} = - \sin^{2}{\left (x \right )} - - \sin{\left (x \right )}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной