График функции y = sin(x)^(22)

Вы ввели

          22   
f(x) = sin  (x)

$$f{\left (x \right )} = \sin^{22}{\left (x \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sin^{22}{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
Численное решение
$$x_{1} = 100.423145941$$
$$x_{2} = -3.36440572842$$
$$x_{3} = -28.1655335379$$
$$x_{4} = -37.7188693967$$
$$x_{5} = 22.1824889182$$
$$x_{6} = -78.3329340756$$
$$x_{7} = 28.2511062972$$
$$x_{8} = -6.25689917074$$
$$x_{9} = -50.1601158826$$
$$x_{10} = 94.25$$
$$x_{11} = 12.4453612377$$
$$x_{12} = 9.64377557299$$
$$x_{13} = 75.6261129271$$
$$x_{14} = 72.25$$
$$x_{15} = -6.1709590321$$
$$x_{16} = 65.9987927041$$
$$x_{17} = 53.6320198274$$
$$x_{18} = -53.2653183902$$
$$x_{19} = -94.1493030456$$
$$x_{20} = -34.3445434351$$
$$x_{21} = -53.5378851016$$
$$x_{22} = -47.3523444061$$
$$x_{23} = -69.3462855961$$
$$x_{24} = 81.8072553227$$
$$x_{25} = -97.1272325411$$
$$x_{26} = 22$$
$$x_{27} = 18.6295911213$$
$$x_{28} = -12.3503747836$$
$$x_{29} = 59.8127148168$$
$$x_{30} = -31.5434789482$$
$$x_{31} = -75.5322816167$$
$$x_{32} = -72.1547058051$$
$$x_{33} = 66.0998908285$$
$$x_{34} = -59.7134511295$$
$$x_{35} = -100.327155302$$
$$x_{36} = 15.8236073722$$
$$x_{37} = -9.54906341582$$
$$x_{38} = 84.6116879286$$
$$x_{39} = 34.4397947555$$
$$x_{40} = -31.3918049601$$
$$x_{41} = -87.9787941154$$
$$x_{42} = -22$$
$$x_{43} = -75.1815125794$$
$$x_{44} = -81.7080312071$$
$$x_{45} = 40.6236058896$$
$$x_{46} = -56.3387299935$$
$$x_{47} = -43.9991953726$$
$$x_{48} = -25.3583843436$$
$$x_{49} = -91.3402075915$$
$$x_{50} = 87.9787941154$$
$$x_{51} = 6.27029805329$$
$$x_{52} = 56.4342368818$$
$$x_{53} = 78.4286873617$$
$$x_{54} = 37.8181654105$$
$$x_{55} = 62.6176382627$$
$$x_{56} = -15.724286254$$
$$x_{57} = 50.25$$
$$x_{58} = 44$$
$$x_{59} = -9.65355648962$$
$$x_{60} = 0$$
$$x_{61} = -65.9840964623$$
$$x_{62} = 97.6201861361$$
$$x_{63} = -97.526668233$$
$$x_{64} = 31.6379072423$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sin(x)^22.
$$\sin^{22}{\left (0 \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =$$
Первая производная
$$22 \sin^{21}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \pi$$
$$x_{4} = \frac{3 \pi}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 0)

 pi    
(--, 1)
 2     

(pi, 0)

 3*pi    
(----, 1)
  2      

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{4} = 0$$
$$x_{4} = \pi$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{4} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{4} = \frac{3 \pi}{2}$$
Убывает на промежутках

[0, pi/2] U [pi, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, 0]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =$$
Вторая производная
$$22 \left(- \sin^{2}{\left (x \right )} + 21 \cos^{2}{\left (x \right )}\right) \sin^{20}{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
$$x_{3} = - 2 \operatorname{atan}{\left (\frac{\sqrt{21}}{21} \sqrt{- 2 \sqrt{22} + 23} \right )}$$
$$x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left (\frac{\sqrt{21}}{21} \sqrt{- 2 \sqrt{22} + 23} \right )}$$
$$x_{5} = - 2 \operatorname{atan}{\left (\frac{\sqrt{21}}{21} \sqrt{2 \sqrt{22} + 23} \right )}$$
$$x_{6} = 2 \operatorname{atan}{\left (\frac{\sqrt{21}}{21} \sqrt{2 \sqrt{22} + 23} \right )}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[2*atan(sqrt(21)*sqrt(2*sqrt(22) + 23)/21), oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, -2*atan(sqrt(21)*sqrt(-2*sqrt(22) + 23)/21)] U [2*atan(sqrt(21)*sqrt(-2*sqrt(22) + 23)/21), 2*atan(sqrt(21)*sqrt(2*sqrt(22) + 23)/21)]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sin^{22}{\left (x \right )} = \langle 0, 1\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle 0, 1\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} \sin^{22}{\left (x \right )} = \langle 0, 1\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle 0, 1\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(x)^22, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \sin^{22}{\left (x \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \sin^{22}{\left (x \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sin^{22}{\left (x \right )} = \sin^{22}{\left (x \right )}$$
- Да
$$\sin^{22}{\left (x \right )} = - \sin^{22}{\left (x \right )}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной