Графики функций/ Построение в 2D/ y = sin(x^3)

График функции y = sin(x^3)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

Примеры
v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Виды выражений

уравнение sin(x^3) = 0
неявная функция sin(x^3)
производная неявной sin(x^3)
канонический вид sin(x^3)
система уравнений sin(x^3)
интеграл sin(x^3)
предел sin(x^3)
производная sin(x^3)
упростить sin(x^3)
обычный калькулятор sin(x^3)

Решение

Вы ввели [src]
          / 3\
f(x) = sin\x /
f(x)=sin⁡(x3)f{\left(x \right)} = \sin{\left(x^{3} \right)}
График функции
05-35-30-25-20-15-10-5101520253035402-2
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
sin⁡(x3)=0\sin{\left(x^{3} \right)} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=0x_{1} = 0
x2=π3x_{2} = \sqrt[3]{\pi}
Численное решение
x1=30.2293620414202x_{1} = 30.2293620414202
x2=−36.2255845190244x_{2} = -36.2255845190244
x3=40.3472430030127x_{3} = 40.3472430030127
x4=60.238182131075x_{4} = 60.238182131075
x5=−80.9445897218871x_{5} = -80.9445897218871
x6=91.0400569571314x_{6} = 91.0400569571314
x7=−39.8160048582235x_{7} = -39.8160048582235
x8=66.3206240698227x_{8} = 66.3206240698227
x9=58.036374298316x_{9} = 58.036374298316
x10=−50.3643866968123x_{10} = -50.3643866968123
x11=−67.7262717513814x_{11} = -67.7262717513814
x12=24.1116249422798x_{12} = 24.1116249422798
x13=−2.66134007898294x_{13} = -2.66134007898294
x14=14.3061221331152x_{14} = 14.3061221331152
x15=64.0327013588411x_{15} = 64.0327013588411
x16=2.11230702051132x_{16} = 2.11230702051132
x17=−35.4277051297686x_{17} = -35.4277051297686
x18=100.524105343877x_{18} = 100.524105343877
x19=60.8862888669884x_{19} = 60.8862888669884
x20=0x_{20} = 0
x21=−45.935567974739x_{21} = -45.935567974739
x22=−51.908085278234x_{22} = -51.908085278234
x23=−60.0613334808789x_{23} = -60.0613334808789
x24=38.1651359042506x_{24} = 38.1651359042506
x25=−23.526544051346x_{25} = -23.526544051346
x26=4.16350951707585⋅10−5x_{26} = 4.16350951707585 \cdot 10^{-5}
x27=−37.77582423001x_{27} = -37.77582423001
x28=−19.6794771781006x_{28} = -19.6794771781006
x29=−42.05990702896x_{29} = -42.05990702896
x30=−1.84527014864403x_{30} = -1.84527014864403
x31=−53.833809215933x_{31} = -53.833809215933
x32=7.9010202528592x_{32} = 7.9010202528592
x33=−75.7496326047389x_{33} = -75.7496326047389
x34=65.5334964125645x_{34} = 65.5334964125645
x35=97.8402483567138x_{35} = 97.8402483567138
x36=−83.7204199578042x_{36} = -83.7204199578042
x37=−54.0594237656711x_{37} = -54.0594237656711
x38=13.2948616872458x_{38} = 13.2948616872458
x39=81.7140169374176x_{39} = 81.7140169374176
x40=−9.7606901829518x_{40} = -9.7606901829518
x41=84.316329141628x_{41} = 84.316329141628
x42=6.09294778537956x_{42} = 6.09294778537956
x43=7.45717957355971x_{43} = 7.45717957355971
x44=18.3350863055224x_{44} = 18.3350863055224
x45=44.2078559991009x_{45} = 44.2078559991009
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sin(x^3).
sin⁡(03)\sin{\left(0^{3} \right)}
Результат:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
первая производная
3x2cos⁡(x3)=03 x^{2} \cos{\left(x^{3} \right)} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=0x_{1} = 0
x2=223π32x_{2} = \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{\pi}}{2}
x3=223⋅33π32x_{3} = \frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt[3]{3} \sqrt[3]{\pi}}{2}
Зн. экстремумы в точках:
(0, 0)

  2/3 3 ____    
 2   *\/ pi     
(-----------, 1)
      2         

  2/3 3 ___ 3 ____     
 2   *\/ 3 *\/ pi      
(-----------------, -1)
         2


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x1=223⋅33π32x_{1} = \frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt[3]{3} \sqrt[3]{\pi}}{2}
Максимумы функции в точках:
x1=223π32x_{1} = \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{\pi}}{2}
Убывает на промежутках
(−∞,223π32]∪[223⋅33π32,∞)\left(-\infty, \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{\pi}}{2}\right] \cup \left[\frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt[3]{3} \sqrt[3]{\pi}}{2}, \infty\right)
Возрастает на промежутках
[223π32,223⋅33π32]\left[\frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{\pi}}{2}, \frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt[3]{3} \sqrt[3]{\pi}}{2}\right]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
вторая производная
3x(−3x3sin⁡(x3)+2cos⁡(x3))=03 x \left(- 3 x^{3} \sin{\left(x^{3} \right)} + 2 \cos{\left(x^{3} \right)}\right) = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=−27.9269618125513x_{1} = -27.9269618125513
x2=−27.7608224441345x_{2} = -27.7608224441345
x3=−37.9052696415318x_{3} = -37.9052696415318
x4=5.09102540255077x_{4} = 5.09102540255077
x5=−3.53028009089283x_{5} = -3.53028009089283
x6=−19.6198092342341x_{6} = -19.6198092342341
x7=82.2812534424732x_{7} = 82.2812534424732
x8=20.2623254146901x_{8} = 20.2623254146901
x9=38.244772390335x_{9} = 38.244772390335
x10=−12.0287337195617x_{10} = -12.0287337195617
x11=94.1983190895141x_{11} = 94.1983190895141
x12=65.3937229952303x_{12} = 65.3937229952303
x13=−94.1555777673182x_{13} = -94.1555777673182
x14=−1.85539544031822x_{14} = -1.85539544031822
x15=3.15607728092207x_{15} = 3.15607728092207
x16=37.0142600566667x_{16} = 37.0142600566667
x17=0x_{17} = 0
x18=2.1175309622679x_{18} = 2.1175309622679
x19=98.1815688903122x_{19} = 98.1815688903122
x20=−35.8710093776997x_{20} = -35.8710093776997
x21=14.0667750994269x_{21} = 14.0667750994269
x22=−11.6322190468637x_{22} = -11.6322190468637
x23=1.85539544031822x_{23} = 1.85539544031822
x24=−96.0905653609333x_{24} = -96.0905653609333
x25=6.14887479340878x_{25} = 6.14887479340878
x26=−55.7540491256996x_{26} = -55.7540491256996
x27=−73.9207815664978x_{27} = -73.9207815664978
x28=−1.4945998734674x_{28} = -1.4945998734674
x29=40.3060309242619x_{29} = 40.3060309242619
x30=11.0287418052206x_{30} = 11.0287418052206
x31=22.2833120580445x_{31} = 22.2833120580445
x32=40.2744208678469x_{32} = 40.2744208678469
x33=−7.86733416647694x_{33} = -7.86733416647694
x34=−21.6295192554946x_{34} = -21.6295192554946
x35=28.091147608035x_{35} = 28.091147608035
x36=−52.0201629425962x_{36} = -52.0201629425962
x37=−8.41979327571322x_{37} = -8.41979327571322
x38=−83.7504396450876x_{38} = -83.7504396450876
x39=26.1223995812795x_{39} = 26.1223995812795
x40=3.04731963419945x_{40} = 3.04731963419945
x41=−5.28551127145611x_{41} = -5.28551127145611
x42=−29.808696652346x_{42} = -29.808696652346
x43=18.6925315757683x_{43} = 18.6925315757683
x44=54.198100598995x_{44} = 54.198100598995
x45=−9.29958200707356x_{45} = -9.29958200707356
x46=−67.8468300478187x_{46} = -67.8468300478187
x47=25.5273233413891x_{47} = 25.5273233413891
x48=−77.6936943146356x_{48} = -77.6936943146356
x49=−41.444178676438x_{49} = -41.444178676438

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[98.1815688903122,∞)\left[98.1815688903122, \infty\right)
Выпуклая на промежутках
(−∞,−83.7504396450876]\left(-\infty, -83.7504396450876\right]
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
lim⁡x→−∞sin⁡(x3)=⟨−1,1⟩\lim_{x \to -\infty} \sin{\left(x^{3} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
lim⁡x→∞sin⁡(x3)=⟨−1,1⟩\lim_{x \to \infty} \sin{\left(x^{3} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(x^3), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(x3)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x^{3} \right)}}{x}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
lim⁡x→∞(sin⁡(x3)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x^{3} \right)}}{x}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
sin⁡(x3)=−sin⁡(x3)\sin{\left(x^{3} \right)} = - \sin{\left(x^{3} \right)}
- Нет
sin⁡(x3)=sin⁡(x3)\sin{\left(x^{3} \right)} = \sin{\left(x^{3} \right)}
- Да
значит, функция
является
нечётной
График
График функции y = sin(x^3) /media/krcore-image-pods/hash/xy/3/06/b64b4d3466d0ee08cc3b0abe92595.png