График функции y = sin(x)^3

Вы ввели

          3   
f(x) = sin (x)

$$f{\left(x \right)} = \sin^{3}{\left(x \right)}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sin^{3}{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
Численное решение
$$x_{1} = -72.256563440672$$
$$x_{2} = 87.9646063100383$$
$$x_{3} = 100.531002707477$$
$$x_{4} = 40.8407567654285$$
$$x_{5} = -59.6902757442614$$
$$x_{6} = -50.2654130938124$$
$$x_{7} = 43.9823032527788$$
$$x_{8} = 15.7080378065275$$
$$x_{9} = 18.8496166426336$$
$$x_{10} = 78.5397509228736$$
$$x_{11} = -97.3894507188702$$
$$x_{12} = 0$$
$$x_{13} = 59.6903382940834$$
$$x_{14} = -75.3983005713641$$
$$x_{15} = -15.7079508374868$$
$$x_{16} = 94.247780189482$$
$$x_{17} = 50.2654784091363$$
$$x_{18} = 37.699188061337$$
$$x_{19} = -53.4071504072306$$
$$x_{20} = -9.42485002941145$$
$$x_{21} = -56.5486655300491$$
$$x_{22} = -15.7079741496884$$
$$x_{23} = -119.380533126399$$
$$x_{24} = -6.28311247067328$$
$$x_{25} = -37.6991249589774$$
$$x_{26} = -21.9911516404356$$
$$x_{27} = -28.2742627706429$$
$$x_{28} = 62.8318959401771$$
$$x_{29} = 65.9734548127967$$
$$x_{30} = 84.823034075932$$
$$x_{31} = -69.1149515823542$$
$$x_{32} = 75.3981609859687$$
$$x_{33} = 6.2831766827342$$
$$x_{34} = -91.1060951872411$$
$$x_{35} = 56.5486006603067$$
$$x_{36} = 72.2566292957527$$
$$x_{37} = 9.42474281067687$$
$$x_{38} = -31.4160002265554$$
$$x_{39} = -34.5575306179909$$
$$x_{40} = -65.9734547037153$$
$$x_{41} = 12.5663001841415$$
$$x_{42} = -47.1238085269535$$
$$x_{43} = 100.53090120176$$
$$x_{44} = -87.9646059647861$$
$$x_{45} = -81.6814265052127$$
$$x_{46} = -78.5397992432789$$
$$x_{47} = 97.3893978428526$$
$$x_{48} = -43.9823032312938$$
$$x_{49} = -25.1326660873779$$
$$x_{50} = -40.8407553983808$$
$$x_{51} = 53.407020637795$$
$$x_{52} = -94.2477138117764$$
$$x_{53} = 34.5574504140577$$
$$x_{54} = 81.6814885050503$$
$$x_{55} = 21.9911516417751$$
$$x_{56} = 31.4158812157011$$
$$x_{57} = 28.2743275366207$$
$$x_{58} = -3.14152433726919$$
$$x_{59} = -9.42480464038606$$
$$x_{60} = 97.389302170591$$
$$x_{61} = -12.566394491012$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sin(x)^3.
$$\sin^{3}{\left(0 \right)}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$3 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \pi$$
$$x_{4} = \frac{3 \pi}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 0)

 pi    
(--, 1)
 2     

(pi, 0)

 3*pi     
(----, -1)
  2       

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{3 \pi}{2}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{2}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$3 \left(- \sin^{2}{\left(x \right)} + 2 \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
$$x_{3} = - \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} \right)}$$
$$x_{4} = \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} \right)}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, - \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} \right)}\right] \cup \left[0, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\pi, \infty\right)$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sin^{3}{\left(x \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} \sin^{3}{\left(x \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(x)^3, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sin^{3}{\left(x \right)} = - \sin^{3}{\left(x \right)}$$
- Нет
$$\sin^{3}{\left(x \right)} = \sin^{3}{\left(x \right)}$$
- Да
значит, функция
является
нечётной

График