График функции y = sin(x^3+4)

Вы ввели

          / 3    \
f(x) = sin\x  + 4/

$$f{\left (x \right )} = \sin{\left (x^{3} + 4 \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sin{\left (x^{3} + 4 \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{1}{2} \sqrt[3]{-4 + \pi} \left(-1 + \sqrt{3} i\right)$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt[3]{-1}}{2} 2^{\frac{2}{3}} \left(-1 + \sqrt{3} i\right)$$
Численное решение
$$x_{1} = 24.1740151817$$
$$x_{2} = -1.925743135$$
$$x_{3} = 80.1290657524$$
$$x_{4} = 22.1212791483$$
$$x_{5} = -55.9260925278$$
$$x_{6} = 42.183692114$$
$$x_{7} = -39.6849633656$$
$$x_{8} = -73.7845155608$$
$$x_{9} = 77.8494691306$$
$$x_{10} = -4.05814755842$$
$$x_{11} = -50.4098707857$$
$$x_{12} = 16.2968745426$$
$$x_{13} = 2.27070361002$$
$$x_{14} = 10.2494201467$$
$$x_{15} = 44.2500002304$$
$$x_{16} = 68.2283998987$$
$$x_{17} = -96.1069251977$$
$$x_{18} = 8.24985822907$$
$$x_{19} = 66.9011508985$$
$$x_{20} = -27.7869867491$$
$$x_{21} = -87.8370201064$$
$$x_{22} = -7.80376159809$$
$$x_{23} = -49.3376187534$$
$$x_{24} = 6.43265349429$$
$$x_{25} = 12.1839683745$$
$$x_{26} = 32.2429218147$$
$$x_{27} = -31.5033971295$$
$$x_{28} = -29.8772160981$$
$$x_{29} = 90.1620649476$$
$$x_{30} = 18.2371468959$$
$$x_{31} = -41.7403568444$$
$$x_{32} = -36.1842599233$$
$$x_{33} = -22.4803828636$$
$$x_{34} = -12.6363961741$$
$$x_{35} = -97.7656146186$$
$$x_{36} = 20.0944494437$$
$$x_{37} = 74.1210292972$$
$$x_{38} = -11.7643937729$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sin(x^3 + 4).
$$\sin{\left (0^{3} + 4 \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \sin{\left (4 \right )}$$
Точка:

(0, sin(4))

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$3 x \left(- 3 x^{3} \sin{\left (x^{3} + 4 \right )} + 2 \cos{\left (x^{3} + 4 \right )}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 20.8006877078$$
$$x_{2} = 5.1598551005$$
$$x_{3} = 30.0283172252$$
$$x_{4} = 44.898796029$$
$$x_{5} = -41.7769892186$$
$$x_{6} = 67.305345021$$
$$x_{7} = 18.1992854905$$
$$x_{8} = 26.1755838074$$
$$x_{9} = -11.7188200292$$
$$x_{10} = 94.1223410409$$
$$x_{11} = 49.3593144091$$
$$x_{12} = 8.24986404412$$
$$x_{13} = 98.0745259727$$
$$x_{14} = -53.6191386149$$
$$x_{15} = -5.10204094202$$
$$x_{16} = -19.7743963979$$
$$x_{17} = 53.2385261778$$
$$x_{18} = -39.7380867123$$
$$x_{19} = -2.55128700927$$
$$x_{20} = -13.0613430205$$
$$x_{21} = -34.1177380555$$
$$x_{22} = 14.8800394683$$
$$x_{23} = 1.76991604373$$
$$x_{24} = -21.8143332213$$
$$x_{25} = -29.7487930663$$
$$x_{26} = 32.2157016849$$
$$x_{27} = -11.556447946$$
$$x_{28} = -87.8391917207$$
$$x_{29} = -43.868906952$$
$$x_{30} = 18.7574219945$$
$$x_{31} = 93.593352449$$
$$x_{32} = -12.7662216992$$
$$x_{33} = 10.2494221114$$
$$x_{34} = 78.2387150558$$
$$x_{35} = -12.9123285874$$
$$x_{36} = -92.0514631117$$
$$x_{37} = -21.8648304588$$
$$x_{38} = -47.7320471545$$
$$x_{39} = 44.2500002318$$
$$x_{40} = -99.1255459903$$
$$x_{41} = -57.5700960616$$
$$x_{42} = 2.27435726634$$
$$x_{43} = 27.9628020041$$
$$x_{44} = 78.5992160716$$
$$x_{45} = -48.5334411355$$
$$x_{46} = 2.05223621163$$
$$x_{47} = -58.1181121612$$
$$x_{48} = -108.078096368$$
$$x_{49} = -9.89377438405$$
$$x_{50} = 0$$
$$x_{51} = -52.1630573094$$
$$x_{52} = 9.7023828941$$
$$x_{53} = 48.311676498$$
$$x_{54} = 11.5756544331$$
$$x_{55} = -3.85790102201$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[78.2387150558, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, -99.1255459903]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sin{\left (x^{3} + 4 \right )} = \langle -1, 1\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle -1, 1\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} \sin{\left (x^{3} + 4 \right )} = \langle -1, 1\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle -1, 1\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(x^3 + 4), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \sin{\left (x^{3} + 4 \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \sin{\left (x^{3} + 4 \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sin{\left (x^{3} + 4 \right )} = - \sin{\left (x^{3} - 4 \right )}$$
- Нет
$$\sin{\left (x^{3} + 4 \right )} = - -1 \sin{\left (x^{3} - 4 \right )}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной