График функции y = tan(log(sqrt(x)))

Вы ввели

          /   /  ___\\
f(x) = tan\log\\/ x //

$$f{\left (x \right )} = \tan{\left (\log{\left (\sqrt{x} \right )} \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\tan{\left (\log{\left (\sqrt{x} \right )} \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 1$$
Численное решение
$$x_{1} = 535.491655525$$
$$x_{2} = 286751.313137$$
$$x_{3} = 1$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в tan(log(sqrt(x))).
$$\tan{\left (\log{\left (\sqrt{0} \right )} \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \tan{\left (\tilde{\infty} \right )}$$
Точка:

(0, tan(±oo))

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{1}{2 x} \left(\tan^{2}{\left (\log{\left (\sqrt{x} \right )} \right )} + 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{2 x^{2}} \left(\tan{\left (\log{\left (\sqrt{x} \right )} \right )} - 1\right) \left(\tan^{2}{\left (\log{\left (\sqrt{x} \right )} \right )} + 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = e^{\frac{\pi}{2}}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[exp(pi/2), oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, exp(pi/2)]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \tan{\left (\log{\left (\sqrt{x} \right )} \right )} = \langle -\infty, \infty\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle -\infty, \infty\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} \tan{\left (\log{\left (\sqrt{x} \right )} \right )} = \langle -\infty, \infty\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle -\infty, \infty\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции tan(log(sqrt(x))), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \tan{\left (\log{\left (\sqrt{x} \right )} \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \tan{\left (\log{\left (\sqrt{x} \right )} \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\tan{\left (\log{\left (\sqrt{x} \right )} \right )} = \tan{\left (\log{\left (\sqrt{- x} \right )} \right )}$$
- Нет
$$\tan{\left (\log{\left (\sqrt{x} \right )} \right )} = - \tan{\left (\log{\left (\sqrt{- x} \right )} \right )}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной