График функции y = tan(|x|)

Вы ввели

f(x) = tan(|x|)

$$f{\left(x \right)} = \tan{\left(\left|{x}\right| \right)}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\tan{\left(\left|{x}\right| \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = -100.530964914873$$
$$x_{2} = -78.5398163397448$$
$$x_{3} = 97.3893722612836$$
$$x_{4} = 18.8495559215388$$
$$x_{5} = -94.2477796076938$$
$$x_{6} = -65.9734457253857$$
$$x_{7} = -56.5486677646163$$
$$x_{8} = 56.5486677646163$$
$$x_{9} = -69.1150383789755$$
$$x_{10} = 6.28318530717959$$
$$x_{11} = 78.5398163397448$$
$$x_{12} = -3.14159265358979$$
$$x_{13} = -21.9911485751286$$
$$x_{14} = 81.6814089933346$$
$$x_{15} = -91.106186954104$$
$$x_{16} = -62.8318530717959$$
$$x_{17} = -31.4159265358979$$
$$x_{18} = 0$$
$$x_{19} = 62.8318530717959$$
$$x_{20} = 84.8230016469244$$
$$x_{21} = 72.2566310325652$$
$$x_{22} = 91.106186954104$$
$$x_{23} = -18.8495559215388$$
$$x_{24} = -9.42477796076938$$
$$x_{25} = 28.2743338823081$$
$$x_{26} = 43.9822971502571$$
$$x_{27} = -6.28318530717959$$
$$x_{28} = -34.5575191894877$$
$$x_{29} = -59.6902604182061$$
$$x_{30} = -53.4070751110265$$
$$x_{31} = 87.9645943005142$$
$$x_{32} = 69.1150383789755$$
$$x_{33} = -84.8230016469244$$
$$x_{34} = -75.398223686155$$
$$x_{35} = 75.398223686155$$
$$x_{36} = 3.14159265358979$$
$$x_{37} = 100.530964914873$$
$$x_{38} = -37.6991118430775$$
$$x_{39} = 94.2477796076938$$
$$x_{40} = 21.9911485751286$$
$$x_{41} = -87.9645943005142$$
$$x_{42} = -25.1327412287183$$
$$x_{43} = 50.2654824574367$$
$$x_{44} = -43.9822971502571$$
$$x_{45} = 65.9734457253857$$
$$x_{46} = 9.42477796076938$$
$$x_{47} = 40.8407044966673$$
$$x_{48} = 37.6991118430775$$
$$x_{49} = -28.2743338823081$$
$$x_{50} = 53.4070751110265$$
$$x_{51} = -40.8407044966673$$
$$x_{52} = 47.1238898038469$$
$$x_{53} = -50.2654824574367$$
$$x_{54} = -97.3893722612836$$
$$x_{55} = 15.707963267949$$
$$x_{56} = 25.1327412287183$$
$$x_{57} = -12.5663706143592$$
$$x_{58} = 31.4159265358979$$
$$x_{59} = 12.5663706143592$$
$$x_{60} = 59.6902604182061$$
$$x_{61} = -15.707963267949$$
$$x_{62} = -81.6814089933346$$
$$x_{63} = -72.2566310325652$$
$$x_{64} = 34.5575191894877$$
$$x_{65} = -47.1238898038469$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в tan(|x|).
$$\tan{\left(\left|{0}\right| \right)}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\left(\tan^{2}{\left(\left|{x}\right| \right)} + 1\right) \operatorname{sign}{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 0)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
$$\left[0, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$2 \left(\tan{\left(\left|{x}\right| \right)} \operatorname{sign}^{2}{\left(x \right)} + \delta\left(x\right)\right) \left(\tan^{2}{\left(\left|{x}\right| \right)} + 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \pi$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[\pi, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, \pi\right]$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \tan{\left(\left|{x}\right| \right)} = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} \tan{\left(\left|{x}\right| \right)} = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции tan(|x|), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\tan{\left(\left|{x}\right| \right)}}{x}\right) = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\tan{\left(\left|{x}\right| \right)}}{x}\right)$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\tan{\left(\left|{x}\right| \right)}}{x}\right)$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\tan{\left(\left|{x}\right| \right)}}{x}\right) = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\tan{\left(\left|{x}\right| \right)}}{x}\right)$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\tan{\left(\left|{x}\right| \right)}}{x}\right)$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\tan{\left(\left|{x}\right| \right)} = \tan{\left(\left|{x}\right| \right)}$$
- Да
$$\tan{\left(\left|{x}\right| \right)} = - \tan{\left(\left|{x}\right| \right)}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной

График