График функции y = tan((|x/2|))

Вы ввели

          /|x|\
f(x) = tan||-||
          \|2|/

$$f{\left (x \right )} = \tan{\left (\left|{\frac{x}{2}}\right| \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\tan{\left (\left|{\frac{x}{2}}\right| \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = -94.2477796077$$
$$x_{2} = 94.2477796077$$
$$x_{3} = 81.6814089933$$
$$x_{4} = -12.5663706144$$
$$x_{5} = 100.530964915$$
$$x_{6} = 50.2654824574$$
$$x_{7} = -25.1327412287$$
$$x_{8} = -43.9822971503$$
$$x_{9} = 25.1327412287$$
$$x_{10} = -81.6814089933$$
$$x_{11} = 87.9645943005$$
$$x_{12} = 69.115038379$$
$$x_{13} = -31.4159265359$$
$$x_{14} = -100.530964915$$
$$x_{15} = 56.5486677646$$
$$x_{16} = -75.3982236862$$
$$x_{17} = -69.115038379$$
$$x_{18} = -6.28318530718$$
$$x_{19} = 6.28318530718$$
$$x_{20} = 75.3982236862$$
$$x_{21} = -87.9645943005$$
$$x_{22} = 18.8495559215$$
$$x_{23} = -50.2654824574$$
$$x_{24} = -56.5486677646$$
$$x_{25} = 12.5663706144$$
$$x_{26} = -62.8318530718$$
$$x_{27} = 62.8318530718$$
$$x_{28} = -18.8495559215$$
$$x_{29} = -37.6991118431$$
$$x_{30} = 31.4159265359$$
$$x_{31} = 37.6991118431$$
$$x_{32} = 0$$
$$x_{33} = 43.9822971503$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в tan(|x/2|).
$$\tan{\left (\left|{\frac{0}{2}}\right| \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{1}{2} \left(\tan^{2}{\left (\left|{\frac{x}{2}}\right| \right )} + 1\right) \operatorname{sign}{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 0)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках

[0, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, 0]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\left(\tan{\left (\frac{\left|{x}\right|}{2} \right )} \operatorname{sign}^{2}{\left (x \right )} + 2 \delta\left(x\right)\right) \left(\frac{1}{2} \tan^{2}{\left (\frac{\left|{x}\right|}{2} \right )} + \frac{1}{2}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на всей числовой оси

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \tan{\left (\left|{\frac{x}{2}}\right| \right )} = \langle -\infty, \infty\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle -\infty, \infty\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} \tan{\left (\left|{\frac{x}{2}}\right| \right )} = \langle -\infty, \infty\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle -\infty, \infty\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции tan(|x/2|), делённой на x при x->+oo и x ->-oo

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \tan{\left (\left|{\frac{x}{2}}\right| \right )}\right)$$

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \tan{\left (\left|{\frac{x}{2}}\right| \right )}\right)$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\tan{\left (\left|{\frac{x}{2}}\right| \right )} = \tan{\left (\frac{\left|{x}\right|}{2} \right )}$$
- Нет
$$\tan{\left (\left|{\frac{x}{2}}\right| \right )} = - \tan{\left (\frac{\left|{x}\right|}{2} \right )}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной