График функции y = tan(1/x)

Вы ввели

          /  1\
f(x) = tan|1*-|
          \  x/

$$f{\left(x \right)} = \tan{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\tan{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в tan(1/x).
$$\tan{\left(1 \cdot \frac{1}{0} \right)}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = \text{NaN}$$
- решений у ур-ния нет

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{\tan^{2}{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)} + 1}{x^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 \cdot \left(1 + \frac{\tan{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x}\right) \left(\tan^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)} + 1\right)}{x^{3}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -27900.4933684258$$
$$x_{2} = -26204.9726086625$$
$$x_{3} = -38073.034154626$$
$$x_{4} = -18574.4245911279$$
$$x_{5} = -31291.4334308523$$
$$x_{6} = 39051.9600864127$$
$$x_{7} = 39899.6376242608$$
$$x_{8} = 11920.7866498169$$
$$x_{9} = -13486.0692547966$$
$$x_{10} = 15313.6990315327$$
$$x_{11} = -16878.4886282212$$
$$x_{12} = 33965.8180595034$$
$$x_{13} = -12637.7969809134$$
$$x_{14} = -32986.8631553672$$
$$x_{15} = -21118.1097909734$$
$$x_{16} = 20401.5145484082$$
$$x_{17} = -16030.4630467099$$
$$x_{18} = 27183.9948318836$$
$$x_{19} = -35529.9681709367$$
$$x_{20} = 34813.5188751815$$
$$x_{21} = -24509.4086816068$$
$$x_{22} = -27052.7378776718$$
$$x_{23} = 26336.2311289925$$
$$x_{24} = 16161.7638428932$$
$$x_{25} = -39768.3934886334$$
$$x_{26} = -25357.1965816753$$
$$x_{27} = 36508.9070577411$$
$$x_{28} = 28879.4941713394$$
$$x_{29} = 33118.1123021818$$
$$x_{30} = -38920.7154638365$$
$$x_{31} = -29595.978373353$$
$$x_{32} = -14334.2627089092$$
$$x_{33} = 23792.8719003445$$
$$x_{34} = -23661.6076337555$$
$$x_{35} = -37225.3493367388$$
$$x_{36} = -19422.3450110788$$
$$x_{37} = 28031.7488966499$$
$$x_{38} = 30574.9612728383$$
$$x_{39} = -11789.4289509706$$
$$x_{40} = -17726.4739769446$$
$$x_{41} = -34682.2712597137$$
$$x_{42} = 31422.6843638914$$
$$x_{43} = -28748.2399452028$$
$$x_{44} = -41463.7404903888$$
$$x_{45} = 22945.0585942741$$
$$x_{46} = 42442.6526756745$$
$$x_{47} = 25488.4568272318$$
$$x_{48} = 32270.4012140289$$
$$x_{49} = -42311.4098297289$$
$$x_{50} = 22097.2292634704$$
$$x_{51} = 21249.381992577$$
$$x_{52} = 19553.6243111917$$
$$x_{53} = -32139.1512093342$$
$$x_{54} = 38204.2792969644$$
$$x_{55} = 35661.2151014223$$
$$x_{56} = -20270.2390190288$$
$$x_{57} = 13617.3977891402$$
$$x_{58} = 29727.2314073549$$
$$x_{59} = -22813.7919742159$$
$$x_{60} = -21965.9600134295$$
$$x_{61} = 17857.762496297$$
$$x_{62} = 41594.9837400124$$
$$x_{63} = -33834.5697070587$$
$$x_{64} = 12769.1386451605$$
$$x_{65} = 24640.6708337996$$
$$x_{66} = 14465.5803568965$$
$$x_{67} = -40616.0684345674$$
$$x_{68} = -36377.6607650209$$
$$x_{69} = 37356.5950346686$$
$$x_{70} = 40747.3121133546$$
$$x_{71} = 18705.7081871576$$
$$x_{72} = -30443.7093330572$$
$$x_{73} = -15182.3905096397$$
$$x_{74} = 17009.7828266522$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$

$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 \cdot \left(1 + \frac{\tan{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x}\right) \left(\tan^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)} + 1\right)}{x^{3}}\right) = \lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 \cdot \left(1 + \frac{\tan{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x}\right) \left(\tan^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)} + 1\right)}{x^{3}}\right)$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \cdot \left(1 + \frac{\tan{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x}\right) \left(\tan^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)} + 1\right)}{x^{3}}\right) = \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \cdot \left(1 + \frac{\tan{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x}\right) \left(\tan^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)} + 1\right)}{x^{3}}\right)$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 0$$
- является точкой перегиба

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Не имеет изгибов на всей числовой оси

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = 0$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \tan{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)} = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty} \tan{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)} = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции tan(1/x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\tan{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\tan{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\tan{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)} = - \tan{\left(\frac{1}{x} \right)}$$
- Нет
$$\tan{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)} = \tan{\left(\frac{1}{x} \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График