График функции y = tan(5*x)

Вы ввели

f(x) = tan(5*x)

$$f{\left (x \right )} = \tan{\left (5 x \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\tan{\left (5 x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = -93.619461077$$
$$x_{2} = 74.1415866247$$
$$x_{3} = -17.5929188601$$
$$x_{4} = -96.1327351998$$
$$x_{5} = 98.017690792$$
$$x_{6} = -27.6460153516$$
$$x_{7} = 10.0530964915$$
$$x_{8} = -57.8053048261$$
$$x_{9} = -33.9292006588$$
$$x_{10} = 48.3805268653$$
$$x_{11} = -39.5840674352$$
$$x_{12} = 16.3362817987$$
$$x_{13} = 54.0353936417$$
$$x_{14} = 84.1946831162$$
$$x_{15} = 70.3716754404$$
$$x_{16} = -25.7610597594$$
$$x_{17} = -5.65486677646$$
$$x_{18} = -74.1415866247$$
$$x_{19} = 64.0884901332$$
$$x_{20} = -30.1592894745$$
$$x_{21} = 89.8495498927$$
$$x_{22} = 43.9822971503$$
$$x_{23} = -35.8141562509$$
$$x_{24} = 18.2212373908$$
$$x_{25} = 14.4513262065$$
$$x_{26} = 30.1592894745$$
$$x_{27} = -47.7522083346$$
$$x_{28} = -11.9380520836$$
$$x_{29} = 20.106192983$$
$$x_{30} = -79.7964534012$$
$$x_{31} = 4.39822971503$$
$$x_{32} = -13.8230076758$$
$$x_{33} = 33.9292006588$$
$$x_{34} = 87.9645943005$$
$$x_{35} = 40.2123859659$$
$$x_{36} = -32.0442450666$$
$$x_{37} = -89.8495498927$$
$$x_{38} = 26.3893782902$$
$$x_{39} = -20.106192983$$
$$x_{40} = 8.16814089933$$
$$x_{41} = 82.3097275241$$
$$x_{42} = -52.1504380496$$
$$x_{43} = -76.0265422169$$
$$x_{44} = 23.8761041673$$
$$x_{45} = -21.9911485751$$
$$x_{46} = -86.0796387084$$
$$x_{47} = -37.6991118431$$
$$x_{48} = 86.0796387084$$
$$x_{49} = 21.9911485751$$
$$x_{50} = 0$$
$$x_{51} = 60.3185789489$$
$$x_{52} = -69.7433569097$$
$$x_{53} = 38.3274303738$$
$$x_{54} = 52.1504380496$$
$$x_{55} = -91.7345054848$$
$$x_{56} = 77.911497809$$
$$x_{57} = 80.4247719319$$
$$x_{58} = 50.2654824574$$
$$x_{59} = -59.6902604182$$
$$x_{60} = 28.2743338823$$
$$x_{61} = -43.9822971503$$
$$x_{62} = -81.6814089933$$
$$x_{63} = 99.9026463842$$
$$x_{64} = 72.2566310326$$
$$x_{65} = -49.6371639267$$
$$x_{66} = -65.9734457254$$
$$x_{67} = -1.88495559215$$
$$x_{68} = 42.0973415581$$
$$x_{69} = -83.5663645855$$
$$x_{70} = 45.8672527424$$
$$x_{71} = 67.8584013175$$
$$x_{72} = -10.0530964915$$
$$x_{73} = -55.9203492339$$
$$x_{74} = 94.2477796077$$
$$x_{75} = -45.8672527424$$
$$x_{76} = 36.4424747816$$
$$x_{77} = -3.76991118431$$
$$x_{78} = -42.0973415581$$
$$x_{79} = -61.5752160104$$
$$x_{80} = -98.017690792$$
$$x_{81} = -15.7079632679$$
$$x_{82} = 32.0442450666$$
$$x_{83} = 65.9734457254$$
$$x_{84} = -71.6283125018$$
$$x_{85} = -23.8761041673$$
$$x_{86} = 55.9203492339$$
$$x_{87} = -54.0353936417$$
$$x_{88} = 1.88495559215$$
$$x_{89} = -67.8584013175$$
$$x_{90} = 92.3628240155$$
$$x_{91} = -64.0884901332$$
$$x_{92} = 6.28318530718$$
$$x_{93} = -87.9645943005$$
$$x_{94} = 96.1327351998$$
$$x_{95} = 58.4336233568$$
$$x_{96} = 11.9380520836$$
$$x_{97} = -99.9026463842$$
$$x_{98} = -7.53982236862$$
$$x_{99} = 76.0265422169$$
$$x_{100} = -77.911497809$$
$$x_{101} = 62.2035345411$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в tan(5*x).
$$\tan{\left (0 \cdot 5 \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$5 \tan^{2}{\left (5 x \right )} + 5 = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$50 \left(\tan^{2}{\left (5 x \right )} + 1\right) \tan{\left (5 x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[0, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, 0]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \tan{\left (5 x \right )} = \langle -\infty, \infty\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle -\infty, \infty\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} \tan{\left (5 x \right )} = \langle -\infty, \infty\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle -\infty, \infty\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции tan(5*x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \tan{\left (5 x \right )}\right)$$

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \tan{\left (5 x \right )}\right)$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\tan{\left (5 x \right )} = - \tan{\left (5 x \right )}$$
- Нет
$$\tan{\left (5 x \right )} = - -1 \tan{\left (5 x \right )}$$
- Да
значит, функция
является
нечётной