График функции y = tan(3*x)

Вы ввели

f(x) = tan(3*x)

$$f{\left(x \right)} = \tan{\left(3 x \right)}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\tan{\left(3 x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 59.6902604182061$$
$$x_{2} = 74.3510261349584$$
$$x_{3} = 21.9911485751286$$
$$x_{4} = -55.5014702134197$$
$$x_{5} = -87.9645943005142$$
$$x_{6} = 83.7758040957278$$
$$x_{7} = 56.5486677646163$$
$$x_{8} = -75.398223686155$$
$$x_{9} = -99.4837673636768$$
$$x_{10} = -96.342174710087$$
$$x_{11} = 26.1799387799149$$
$$x_{12} = -33.5103216382911$$
$$x_{13} = -43.9822971502571$$
$$x_{14} = -85.870199198121$$
$$x_{15} = 48.1710873550435$$
$$x_{16} = -90.0589894029074$$
$$x_{17} = 39.7935069454707$$
$$x_{18} = 6.28318530717959$$
$$x_{19} = 68.0678408277789$$
$$x_{20} = -30.3687289847013$$
$$x_{21} = 72.2566310325652$$
$$x_{22} = -52.3598775598299$$
$$x_{23} = 10.471975511966$$
$$x_{24} = 2.0943951023932$$
$$x_{25} = -72.2566310325652$$
$$x_{26} = -53.4070751110265$$
$$x_{27} = -79.5870138909414$$
$$x_{28} = -26.1799387799149$$
$$x_{29} = -21.9911485751286$$
$$x_{30} = 54.4542726622231$$
$$x_{31} = -31.4159265358979$$
$$x_{32} = -48.1710873550435$$
$$x_{33} = 98.4365698124802$$
$$x_{34} = -92.1533845053006$$
$$x_{35} = -4.18879020478639$$
$$x_{36} = -39.7935069454707$$
$$x_{37} = 34.5575191894877$$
$$x_{38} = -74.3510261349584$$
$$x_{39} = -63.8790506229925$$
$$x_{40} = -94.2477796076938$$
$$x_{41} = 12.5663706143592$$
$$x_{42} = -24.0855436775217$$
$$x_{43} = 80.634211442138$$
$$x_{44} = 90.0589894029074$$
$$x_{45} = -50.2654824574367$$
$$x_{46} = -97.3893722612836$$
$$x_{47} = 15.707963267949$$
$$x_{48} = -35.6047167406843$$
$$x_{49} = 96.342174710087$$
$$x_{50} = 63.8790506229925$$
$$x_{51} = 8.37758040957278$$
$$x_{52} = 24.0855436775217$$
$$x_{53} = -7.33038285837618$$
$$x_{54} = 0$$
$$x_{55} = -13.6135681655558$$
$$x_{56} = 19.8967534727354$$
$$x_{57} = -37.6991118430775$$
$$x_{58} = 61.7846555205993$$
$$x_{59} = 65.9734457253857$$
$$x_{60} = 85.870199198121$$
$$x_{61} = -61.7846555205993$$
$$x_{62} = 81.6814089933346$$
$$x_{63} = 17.8023583703422$$
$$x_{64} = -19.8967534727354$$
$$x_{65} = -41.8879020478639$$
$$x_{66} = 41.8879020478639$$
$$x_{67} = -81.6814089933346$$
$$x_{68} = 28.2743338823081$$
$$x_{69} = -46.0766922526503$$
$$x_{70} = 100.530964914873$$
$$x_{71} = 52.3598775598299$$
$$x_{72} = -77.4926187885482$$
$$x_{73} = 70.162235930172$$
$$x_{74} = -2.0943951023932$$
$$x_{75} = 4.18879020478639$$
$$x_{76} = 76.4454212373516$$
$$x_{77} = -70.162235930172$$
$$x_{78} = -57.5958653158129$$
$$x_{79} = 87.9645943005142$$
$$x_{80} = 58.6430628670095$$
$$x_{81} = -11.5191730631626$$
$$x_{82} = 32.4631240870945$$
$$x_{83} = 37.6991118430775$$
$$x_{84} = -28.2743338823081$$
$$x_{85} = -6.28318530717959$$
$$x_{86} = 43.9822971502571$$
$$x_{87} = -17.8023583703422$$
$$x_{88} = 94.2477796076938$$
$$x_{89} = -68.0678408277789$$
$$x_{90} = -59.6902604182061$$
$$x_{91} = -9.42477796076938$$
$$x_{92} = -15.707963267949$$
$$x_{93} = 30.3687289847013$$
$$x_{94} = 78.5398163397448$$
$$x_{95} = 92.1533845053006$$
$$x_{96} = -65.9734457253857$$
$$x_{97} = 36.6519142918809$$
$$x_{98} = 50.2654824574367$$
$$x_{99} = 46.0766922526503$$
$$x_{100} = -83.7758040957278$$
$$x_{101} = 14.6607657167524$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в tan(3*x).
$$\tan{\left(3 \cdot 0 \right)}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$3 \tan^{2}{\left(3 x \right)} + 3 = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$18 \left(\tan^{2}{\left(3 x \right)} + 1\right) \tan{\left(3 x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[0, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right]$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \tan{\left(3 x \right)} = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} \tan{\left(3 x \right)} = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции tan(3*x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\tan{\left(3 x \right)}}{x}\right) = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\tan{\left(3 x \right)}}{x}\right)$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\tan{\left(3 x \right)}}{x}\right)$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\tan{\left(3 x \right)}}{x}\right) = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\tan{\left(3 x \right)}}{x}\right)$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\tan{\left(3 x \right)}}{x}\right)$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\tan{\left(3 x \right)} = - \tan{\left(3 x \right)}$$
- Нет
$$\tan{\left(3 x \right)} = \tan{\left(3 x \right)}$$
- Да
значит, функция
является
нечётной

График