График функции y = tan(x/2)

Вы ввели

          /x\
f(x) = tan|-|
          \2/

$$f{\left(x \right)} = \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = -12.5663706143592$$
$$x_{2} = 75.398223686155$$
$$x_{3} = -50.2654824574367$$
$$x_{4} = -62.8318530717959$$
$$x_{5} = 87.9645943005142$$
$$x_{6} = -100.530964914873$$
$$x_{7} = -87.9645943005142$$
$$x_{8} = 0$$
$$x_{9} = 37.6991118430775$$
$$x_{10} = -6.28318530717959$$
$$x_{11} = 43.9822971502571$$
$$x_{12} = -56.5486677646163$$
$$x_{13} = 94.2477796076938$$
$$x_{14} = -69.1150383789755$$
$$x_{15} = -31.4159265358979$$
$$x_{16} = 62.8318530717959$$
$$x_{17} = 18.8495559215388$$
$$x_{18} = -37.6991118430775$$
$$x_{19} = 56.5486677646163$$
$$x_{20} = -75.398223686155$$
$$x_{21} = 81.6814089933346$$
$$x_{22} = -18.8495559215388$$
$$x_{23} = 31.4159265358979$$
$$x_{24} = -43.9822971502571$$
$$x_{25} = -81.6814089933346$$
$$x_{26} = -25.1327412287183$$
$$x_{27} = 50.2654824574367$$
$$x_{28} = 69.1150383789755$$
$$x_{29} = 100.530964914873$$
$$x_{30} = 6.28318530717959$$
$$x_{31} = 25.1327412287183$$
$$x_{32} = -94.2477796076938$$
$$x_{33} = 12.5663706143592$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в tan(x/2).
$$\tan{\left(\frac{0}{2} \right)}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{1}{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{\left(\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right) \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[0, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right]$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \tan{\left(\frac{x}{2} \right)} = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} \tan{\left(\frac{x}{2} \right)} = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции tan(x/2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x}\right) = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x}\right)$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x}\right)$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x}\right) = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x}\right)$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x}\right)$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} = - \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}$$
- Нет
$$\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} = \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График