График функции y = tan(x)-cot(x)

Вы ввели

f(x) = tan(x) - cot(x)

$$f{\left (x \right )} = \tan{\left (x \right )} - \cot{\left (x \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\tan{\left (x \right )} - \cot{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{4}$$
Численное решение
$$x_{1} = -77.7544181763$$
$$x_{2} = 90.3207887907$$
$$x_{3} = 22.7765467385$$
$$x_{4} = -93.4623814443$$
$$x_{5} = 77.7544181763$$
$$x_{6} = -13.3517687778$$
$$x_{7} = -71.4712328692$$
$$x_{8} = 33.7721210261$$
$$x_{9} = -47.9092879672$$
$$x_{10} = 66.7588438888$$
$$x_{11} = 69.9004365424$$
$$x_{12} = -25.9181393921$$
$$x_{13} = 63.6172512352$$
$$x_{14} = 58.9048622548$$
$$x_{15} = 30.6305283725$$
$$x_{16} = -49.480084294$$
$$x_{17} = 84.0376034835$$
$$x_{18} = -87.1791961371$$
$$x_{19} = 54.1924732744$$
$$x_{20} = 2.35619449019$$
$$x_{21} = -33.7721210261$$
$$x_{22} = 10.2101761242$$
$$x_{23} = 62.0464549084$$
$$x_{24} = 76.1836218496$$
$$x_{25} = 49.480084294$$
$$x_{26} = -2.35619449019$$
$$x_{27} = -5.49778714378$$
$$x_{28} = -55.7632696012$$
$$x_{29} = 60.4756585816$$
$$x_{30} = -54.1924732744$$
$$x_{31} = -38.4845100065$$
$$x_{32} = -46.3384916404$$
$$x_{33} = 40.0553063333$$
$$x_{34} = -96.6039740979$$
$$x_{35} = 41.6261026601$$
$$x_{36} = -32.2013246993$$
$$x_{37} = -79.3252145031$$
$$x_{38} = -18.0641577581$$
$$x_{39} = -62.0464549084$$
$$x_{40} = 44.7676953137$$
$$x_{41} = 46.3384916404$$
$$x_{42} = -11.780972451$$
$$x_{43} = 27.4889357189$$
$$x_{44} = -65.188047562$$
$$x_{45} = 14.9225651046$$
$$x_{46} = 71.4712328692$$
$$x_{47} = 85.6083998103$$
$$x_{48} = 32.2013246993$$
$$x_{49} = 74.6128255228$$
$$x_{50} = -63.6172512352$$
$$x_{51} = -76.1836218496$$
$$x_{52} = 18.0641577581$$
$$x_{53} = -43.1968989869$$
$$x_{54} = -99.7455667515$$
$$x_{55} = -60.4756585816$$
$$x_{56} = -90.3207887907$$
$$x_{57} = -16.4933614313$$
$$x_{58} = -69.9004365424$$
$$x_{59} = 88.7499924639$$
$$x_{60} = 3.92699081699$$
$$x_{61} = 80.8960108299$$
$$x_{62} = 93.4623814443$$
$$x_{63} = 11.780972451$$
$$x_{64} = 98.1747704247$$
$$x_{65} = -19.6349540849$$
$$x_{66} = 38.4845100065$$
$$x_{67} = -21.2057504117$$
$$x_{68} = 24.3473430653$$
$$x_{69} = -84.0376034835$$
$$x_{70} = -35.3429173529$$
$$x_{71} = -41.6261026601$$
$$x_{72} = -30.6305283725$$
$$x_{73} = -7.06858347058$$
$$x_{74} = -91.8915851175$$
$$x_{75} = 82.4668071567$$
$$x_{76} = 96.6039740979$$
$$x_{77} = 25.9181393921$$
$$x_{78} = -27.4889357189$$
$$x_{79} = -24.3473430653$$
$$x_{80} = 36.9137136797$$
$$x_{81} = -82.4668071567$$
$$x_{82} = -10.2101761242$$
$$x_{83} = -74.6128255228$$
$$x_{84} = -40.0553063333$$
$$x_{85} = -85.6083998103$$
$$x_{86} = -57.334065928$$
$$x_{87} = -98.1747704247$$
$$x_{88} = 47.9092879672$$
$$x_{89} = 16.4933614313$$
$$x_{90} = -3.92699081699$$
$$x_{91} = 68.3296402156$$
$$x_{92} = 19.6349540849$$
$$x_{93} = 5.49778714378$$
$$x_{94} = 99.7455667515$$
$$x_{95} = 52.6216769476$$
$$x_{96} = -52.6216769476$$
$$x_{97} = -68.3296402156$$
$$x_{98} = 55.7632696012$$
$$x_{99} = 91.8915851175$$
$$x_{100} = 8.63937979737$$

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =$$
Первая производная
$$\tan^{2}{\left (x \right )} + \cot^{2}{\left (x \right )} + 2 = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =$$
Вторая производная
$$2 \left(\left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \tan{\left (x \right )} - \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \cot{\left (x \right )}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{4}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[pi/4, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, -pi/4]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo

True

Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \lim_{x \to -\infty}\left(\tan{\left (x \right )} - \cot{\left (x \right )}\right)$$

True

Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \lim_{x \to \infty}\left(\tan{\left (x \right )} - \cot{\left (x \right )}\right)$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции tan(x) - cot(x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(\tan{\left (x \right )} - \cot{\left (x \right )}\right)\right)$$

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(\tan{\left (x \right )} - \cot{\left (x \right )}\right)\right)$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\tan{\left (x \right )} - \cot{\left (x \right )} = - \tan{\left (x \right )} + \cot{\left (x \right )}$$
- Нет
$$\tan{\left (x \right )} - \cot{\left (x \right )} = - -1 \tan{\left (x \right )} - \cot{\left (x \right )}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной