График функции y = tan(x)-1/x

Вы ввели

                1
f(x) = tan(x) - -
                x

$$f{\left (x \right )} = \tan{\left (x \right )} - \frac{1}{x}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\tan{\left (x \right )} - \frac{1}{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Численное решение
$$x_{1} = 6.43729817917$$
$$x_{2} = -91.1171613945$$
$$x_{3} = 65.9885986985$$
$$x_{4} = -44.0050179208$$
$$x_{5} = 56.5663442798$$
$$x_{6} = -72.2704670603$$
$$x_{7} = 50.2853663378$$
$$x_{8} = 47.1450977368$$
$$x_{9} = 91.1171613945$$
$$x_{10} = -94.258388345$$
$$x_{11} = 97.3996388791$$
$$x_{12} = -6.43729817917$$
$$x_{13} = -12.6452872239$$
$$x_{14} = 37.7256128278$$
$$x_{15} = 81.6936492356$$
$$x_{16} = 94.258388345$$
$$x_{17} = -75.4114834888$$
$$x_{18} = -65.9885986985$$
$$x_{19} = -3.42561845948$$
$$x_{20} = 25.1724463266$$
$$x_{21} = 69.1295029739$$
$$x_{22} = -34.5864242153$$
$$x_{23} = -59.7070073053$$
$$x_{24} = -18.9024099569$$
$$x_{25} = -15.7712848748$$
$$x_{26} = 34.5864242153$$
$$x_{27} = 100.540910787$$
$$x_{28} = 53.4257904774$$
$$x_{29} = -22.0364967279$$
$$x_{30} = 62.8477631945$$
$$x_{31} = 3.42561845948$$
$$x_{32} = 28.3096428545$$
$$x_{33} = -81.6936492356$$
$$x_{34} = -47.1450977368$$
$$x_{35} = 40.8651703305$$
$$x_{36} = -9.52933440536$$
$$x_{37} = -62.8477631945$$
$$x_{38} = 72.2704670603$$
$$x_{39} = -25.1724463266$$
$$x_{40} = 44.0050179208$$
$$x_{41} = 12.6452872239$$
$$x_{42} = -100.540910787$$
$$x_{43} = 9.52933440536$$
$$x_{44} = -31.4477146375$$
$$x_{45} = -97.3996388791$$
$$x_{46} = -84.834788718$$
$$x_{47} = 22.0364967279$$
$$x_{48} = 84.834788718$$
$$x_{49} = 59.7070073053$$
$$x_{50} = 15.7712848748$$
$$x_{51} = 18.9024099569$$
$$x_{52} = -40.8651703305$$
$$x_{53} = -50.2853663378$$
$$x_{54} = 31.4477146375$$
$$x_{55} = -53.4257904774$$
$$x_{56} = 0.860333589019$$
$$x_{57} = -37.7256128278$$
$$x_{58} = 75.4114834888$$
$$x_{59} = -69.1295029739$$
$$x_{60} = -56.5663442798$$
$$x_{61} = 78.5525459842$$
$$x_{62} = -78.5525459842$$
$$x_{63} = -87.9759605525$$
$$x_{64} = 87.9759605525$$
$$x_{65} = -28.3096428545$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в tan(x) - 1/x.
$$\tan{\left (0 \right )} - \tilde{\infty}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \tilde{\infty}$$
зн.f не пересекает Y

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\tan^{2}{\left (x \right )} + 1 + \frac{1}{x^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$2 \left(\left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \tan{\left (x \right )} - \frac{1}{x^{3}}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -3.17285930451$$
$$x_{2} = -12.5668744838$$
$$x_{3} = -50.2654903313$$
$$x_{4} = -87.9645957697$$
$$x_{5} = -75.3982260192$$
$$x_{6} = 75.3982260192$$
$$x_{7} = -34.5575434205$$
$$x_{8} = 34.5575434205$$
$$x_{9} = 25.1328042195$$
$$x_{10} = 21.9912426017$$
$$x_{11} = -69.1150414079$$
$$x_{12} = -21.9912426017$$
$$x_{13} = -100.530965899$$
$$x_{14} = 78.5398184038$$
$$x_{15} = 31.4159587873$$
$$x_{16} = 56.5486732947$$
$$x_{17} = 6.28720892709$$
$$x_{18} = 43.9823089037$$
$$x_{19} = 3.17285930451$$
$$x_{20} = -43.9823089037$$
$$x_{21} = -31.4159587873$$
$$x_{22} = -72.2566336833$$
$$x_{23} = -65.9734492079$$
$$x_{24} = -78.5398184038$$
$$x_{25} = -56.5486732947$$
$$x_{26} = 37.6991305071$$
$$x_{27} = 91.1061882765$$
$$x_{28} = 100.530965899$$
$$x_{29} = 97.3893733439$$
$$x_{30} = 28.2743781229$$
$$x_{31} = 18.8497052306$$
$$x_{32} = 9.42597200589$$
$$x_{33} = 94.2477808022$$
$$x_{34} = -47.1238993599$$
$$x_{35} = 12.5668744838$$
$$x_{36} = 87.9645957697$$
$$x_{37} = 69.1150414079$$
$$x_{38} = 40.8407191765$$
$$x_{39} = 50.2654903313$$
$$x_{40} = 59.6902651203$$
$$x_{41} = 47.1238993599$$
$$x_{42} = -6.28720892709$$
$$x_{43} = -37.6991305071$$
$$x_{44} = 72.2566336833$$
$$x_{45} = -91.1061882765$$
$$x_{46} = -18.8497052306$$
$$x_{47} = -84.8230032855$$
$$x_{48} = 81.6814108283$$
$$x_{49} = 62.8318571032$$
$$x_{50} = -53.4070816756$$
$$x_{51} = -81.6814108283$$
$$x_{52} = 15.7082212675$$
$$x_{53} = -59.6902651203$$
$$x_{54} = 84.8230032855$$
$$x_{55} = -97.3893733439$$
$$x_{56} = -15.7082212675$$
$$x_{57} = -94.2477808022$$
$$x_{58} = -62.8318571032$$
$$x_{59} = -28.2743781229$$
$$x_{60} = -9.42597200589$$
$$x_{61} = 53.4070816756$$
$$x_{62} = 65.9734492079$$
$$x_{63} = -40.8407191765$$
$$x_{64} = -25.1328042195$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$

$$\lim_{x \to 0^-}\left(2 \left(\left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \tan{\left (x \right )} - \frac{1}{x^{3}}\right)\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(2 \left(\left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \tan{\left (x \right )} - \frac{1}{x^{3}}\right)\right) = -\infty$$
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 0$$
- является точкой перегиба

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[100.530965899, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, -100.530965899]

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = 0$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo

True

Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \lim_{x \to -\infty}\left(\tan{\left (x \right )} - \frac{1}{x}\right)$$

True

Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \lim_{x \to \infty}\left(\tan{\left (x \right )} - \frac{1}{x}\right)$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции tan(x) - 1/x, делённой на x при x->+oo и x ->-oo

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(\tan{\left (x \right )} - \frac{1}{x}\right)\right)$$

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(\tan{\left (x \right )} - \frac{1}{x}\right)\right)$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\tan{\left (x \right )} - \frac{1}{x} = - \tan{\left (x \right )} + \frac{1}{x}$$
- Нет
$$\tan{\left (x \right )} - \frac{1}{x} = - -1 \tan{\left (x \right )} - \frac{1}{x}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной