График функции y = tan(x)-x

Вы ввели

f(x) = tan(x) - x

$$f{\left (x \right )} = - x + \tan{\left (x \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$- x + \tan{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Численное решение
$$x_{1} = -0.000118512578457$$
$$x_{2} = -0.0001450504197$$
$$x_{3} = -0.000143537633323$$
$$x_{4} = 8.6906982792 \cdot 10^{-6}$$
$$x_{5} = -7.72525183694$$
$$x_{6} = 2.22933077912 \cdot 10^{-6}$$
$$x_{7} = -2.82329687446 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{8} = 9.97157790894 \cdot 10^{-6}$$
$$x_{9} = -2.23734878031 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{10} = 1.28515452624 \cdot 10^{-6}$$
$$x_{11} = 2.21778156795 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{12} = -8.82684063206 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{13} = 9.97496086086 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{14} = -1.66895366705 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{15} = -2.75580031449 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{16} = 1.21260336367 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{17} = 0.000120073454859$$
$$x_{18} = 1.65582562801 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{19} = 0.00011950700918$$
$$x_{20} = -7.31681729432 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{21} = 0.00014650664725$$
$$x_{22} = 9.62430943054 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{23} = -3.00792945032 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{24} = -4.20993198165 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{25} = 0.000143547853574$$
$$x_{26} = 0$$
$$x_{27} = -6.59502461621 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{28} = 3.54105391921 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{29} = -2.94927781719 \cdot 10^{-5}$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в tan(x) - x.
$$\tan{\left (0 \right )} - 0$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =$$
Первая производная
$$\tan^{2}{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 0)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумов у функции нет
Возрастает на всей числовой оси

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =$$
Вторая производная
$$2 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \tan{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[0, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, 0]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo

True

Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \lim_{x \to -\infty}\left(- x + \tan{\left (x \right )}\right)$$

True

Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \lim_{x \to \infty}\left(- x + \tan{\left (x \right )}\right)$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции tan(x) - x, делённой на x при x->+oo и x ->-oo

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(- x + \tan{\left (x \right )}\right)\right)$$

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(- x + \tan{\left (x \right )}\right)\right)$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$- x + \tan{\left (x \right )} = x - \tan{\left (x \right )}$$
- Нет
$$- x + \tan{\left (x \right )} = - x - - \tan{\left (x \right )}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной