График функции
0 -90 -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 10 -200 200
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0tan ( x ) + π 4 = 0 \tan{\left(x \right)} + \frac{\pi}{4} = 0 tan ( x ) + 4 π = 0 Решаем это уравнение Аналитическое решение x 1 = − atan ( π 4 ) x_{1} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{\pi}{4} \right)} x 1 = − atan ( 4 π ) Численное решение x 1 = − 98.0551460113119 x_{1} = -98.0551460113119 x 1 = − 98.0551460113119 x 2 = − 63.4976268218242 x_{2} = -63.4976268218242 x 2 = − 63.4976268218242 x 3 = − 94.9135533577222 x_{3} = -94.9135533577222 x 3 = − 94.9135533577222 x 4 = − 76.0639974361834 x_{4} = -76.0639974361834 x 4 = − 76.0639974361834 x 5 = 99.865191164845 x_{5} = 99.865191164845 x 5 = 99.865191164845 x 6 = 49.5997087074083 x_{6} = 49.5997087074083 x 6 = 49.5997087074083 x 7 = 40.174930746639 x_{7} = 40.174930746639 x 7 = 40.174930746639 x 8 = − 101.196738664902 x_{8} = -101.196738664902 x 8 = − 101.196738664902 x 9 = − 88.6303680505426 x_{9} = -88.6303680505426 x 9 = − 88.6303680505426 x 10 = − 79.2055900897732 x_{10} = -79.2055900897732 x 10 = − 79.2055900897732 x 11 = 15.0421895179206 x_{11} = 15.0421895179206 x 11 = 15.0421895179206 x 12 = − 60.3560341682344 x_{12} = -60.3560341682344 x 12 = − 60.3560341682344 x 13 = 8.75900421074103 x_{13} = 8.75900421074103 x 13 = 8.75900421074103 x 14 = 68.4492646289471 x_{14} = 68.4492646289471 x 14 = 68.4492646289471 x 15 = − 28.9401076323365 x_{15} = -28.9401076323365 x 15 = − 28.9401076323365 x 16 = − 57.2144415146446 x_{16} = -57.2144415146446 x 16 = − 57.2144415146446 x 17 = − 16.3737370179773 x_{17} = -16.3737370179773 x 17 = − 16.3737370179773 x 18 = − 35.2232929395161 x_{18} = -35.2232929395161 x 18 = − 35.2232929395161 x 19 = − 82.347182743363 x_{19} = -82.347182743363 x 19 = − 82.347182743363 x 20 = − 85.4887753969528 x_{20} = -85.4887753969528 x 20 = − 85.4887753969528 x 21 = 59.0244866681777 x_{21} = 59.0244866681777 x 21 = 59.0244866681777 x 22 = − 69.7808121290038 x_{22} = -69.7808121290038 x 22 = − 69.7808121290038 x 23 = − 47.7896635538753 x_{23} = -47.7896635538753 x 23 = − 47.7896635538753 x 24 = 33.8917454394594 x_{24} = 33.8917454394594 x 24 = 33.8917454394594 x 25 = − 3.80736640361815 x_{25} = -3.80736640361815 x 25 = − 3.80736640361815 x 26 = − 38.3648855931059 x_{26} = -38.3648855931059 x 26 = − 38.3648855931059 x 27 = − 0.665773750028354 x_{27} = -0.665773750028354 x 27 = − 0.665773750028354 x 28 = 30.7501527858696 x_{28} = 30.7501527858696 x 28 = 30.7501527858696 x 29 = − 6.94895905720794 x_{29} = -6.94895905720794 x 29 = − 6.94895905720794 x 30 = − 13.2321443643875 x_{30} = -13.2321443643875 x 30 = − 13.2321443643875 x 31 = 84.1572278968961 x_{31} = 84.1572278968961 x 31 = 84.1572278968961 x 32 = 27.6085601322798 x_{32} = 27.6085601322798 x 32 = 27.6085601322798 x 33 = 21.3253748251002 x_{33} = 21.3253748251002 x 33 = 21.3253748251002 x 34 = 24.46696747869 x_{34} = 24.46696747869 x 34 = 24.46696747869 x 35 = 81.0156352433063 x_{35} = 81.0156352433063 x 35 = 81.0156352433063 x 36 = − 19.5153296715671 x_{36} = -19.5153296715671 x 36 = − 19.5153296715671 x 37 = − 44.6480709002855 x_{37} = -44.6480709002855 x 37 = − 44.6480709002855 x 38 = 46.4581160538185 x_{38} = 46.4581160538185 x 38 = 46.4581160538185 x 39 = − 72.9224047825936 x_{39} = -72.9224047825936 x 39 = − 72.9224047825936 x 40 = − 25.7985149787467 x_{40} = -25.7985149787467 x 40 = − 25.7985149787467 x 41 = 43.3165234002288 x_{41} = 43.3165234002288 x 41 = 43.3165234002288 x 42 = − 50.931256207465 x_{42} = -50.931256207465 x 42 = − 50.931256207465 x 43 = 90.4404132040757 x_{43} = 90.4404132040757 x 43 = 90.4404132040757 x 44 = 18.1837821715104 x_{44} = 18.1837821715104 x 44 = 18.1837821715104 x 45 = 71.5908572825369 x_{45} = 71.5908572825369 x 45 = 71.5908572825369 x 46 = 5.61741155715123 x_{46} = 5.61741155715123 x 46 = 5.61741155715123 x 47 = − 32.0817002859263 x_{47} = -32.0817002859263 x 47 = − 32.0817002859263 x 48 = − 66.639219475414 x_{48} = -66.639219475414 x 48 = − 66.639219475414 x 49 = 55.8828940145879 x_{49} = 55.8828940145879 x 49 = 55.8828940145879 x 50 = 2.47581890356144 x_{50} = 2.47581890356144 x 50 = 2.47581890356144 x 51 = − 22.6569223251569 x_{51} = -22.6569223251569 x 51 = − 22.6569223251569 x 52 = 96.7235985112552 x_{52} = 96.7235985112552 x 52 = 96.7235985112552 x 53 = − 10.0905517107977 x_{53} = -10.0905517107977 x 53 = − 10.0905517107977 x 54 = 74.7324499361267 x_{54} = 74.7324499361267 x 54 = 74.7324499361267 x 55 = 93.5820058576655 x_{55} = 93.5820058576655 x 55 = 93.5820058576655 x 56 = 77.8740425897165 x_{56} = 77.8740425897165 x 56 = 77.8740425897165 x 57 = 65.3076719753573 x_{57} = 65.3076719753573 x 57 = 65.3076719753573 x 58 = 62.1660793217675 x_{58} = 62.1660793217675 x 58 = 62.1660793217675 x 59 = 37.0333380930492 x_{59} = 37.0333380930492 x 59 = 37.0333380930492 x 60 = − 91.7719607041324 x_{60} = -91.7719607041324 x 60 = − 91.7719607041324 x 61 = 87.2988205504859 x_{61} = 87.2988205504859 x 61 = 87.2988205504859 x 62 = 11.9005968643308 x_{62} = 11.9005968643308 x 62 = 11.9005968643308 x 63 = 52.7413013609981 x_{63} = 52.7413013609981 x 63 = 52.7413013609981 x 64 = − 54.0728488610548 x_{64} = -54.0728488610548 x 64 = − 54.0728488610548 x 65 = − 41.5064782466957 x_{65} = -41.5064782466957 x 65 = − 41.5064782466957
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:tan ( 0 ) + π 4 \tan{\left(0 \right)} + \frac{\pi}{4} tan ( 0 ) + 4 π f ( 0 ) = π 4 f{\left(0 \right)} = \frac{\pi}{4} f ( 0 ) = 4 π (0, pi/4)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнениеd d x f ( x ) = 0 \frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0 d x d f ( x ) = 0 d d x f ( x ) = \frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = d x d f ( x ) = первая производная tan 2 ( x ) + 1 = 0 \tan^{2}{\left(x \right)} + 1 = 0 tan 2 ( x ) + 1 = 0 Решаем это уравнение
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнениеd 2 d x 2 f ( x ) = 0 \frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0 d x 2 d 2 f ( x ) = 0 d 2 d x 2 f ( x ) = \frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = d x 2 d 2 f ( x ) = вторая производная 2 ( tan 2 ( x ) + 1 ) tan ( x ) = 0 2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(x \right)} = 0 2 ( tan 2 ( x ) + 1 ) tan ( x ) = 0 Решаем это уравнение x 1 = 0 x_{1} = 0 x 1 = 0 Интервалы выпуклости и вогнутости: [ 0 , ∞ ) \left[0, \infty\right) [ 0 , ∞ ) ( − ∞ , 0 ] \left(-\infty, 0\right] ( − ∞ , 0 ]
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oolim x → − ∞ ( tan ( x ) + π 4 ) = ⟨ − ∞ , ∞ ⟩ \lim_{x \to -\infty}\left(\tan{\left(x \right)} + \frac{\pi}{4}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle x → − ∞ lim ( tan ( x ) + 4 π ) = ⟨ − ∞ , ∞ ⟩ Возьмём предел y = ⟨ − ∞ , ∞ ⟩ y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle y = ⟨ − ∞ , ∞ ⟩ lim x → ∞ ( tan ( x ) + π 4 ) = ⟨ − ∞ , ∞ ⟩ \lim_{x \to \infty}\left(\tan{\left(x \right)} + \frac{\pi}{4}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle x → ∞ lim ( tan ( x ) + 4 π ) = ⟨ − ∞ , ∞ ⟩ Возьмём предел y = ⟨ − ∞ , ∞ ⟩ y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle y = ⟨ − ∞ , ∞ ⟩
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции tan(x) + pi/4, делённой на x при x->+oo и x ->-oolim x → − ∞ ( tan ( x ) + π 4 x ) = lim x → − ∞ ( tan ( x ) + π 4 x ) \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\tan{\left(x \right)} + \frac{\pi}{4}}{x}\right) = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\tan{\left(x \right)} + \frac{\pi}{4}}{x}\right) x → − ∞ lim ( x tan ( x ) + 4 π ) = x → − ∞ lim ( x tan ( x ) + 4 π ) Возьмём предел y = x lim x → − ∞ ( tan ( x ) + π 4 x ) y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\tan{\left(x \right)} + \frac{\pi}{4}}{x}\right) y = x x → − ∞ lim ( x tan ( x ) + 4 π ) lim x → ∞ ( tan ( x ) + π 4 x ) = lim x → ∞ ( tan ( x ) + π 4 x ) \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\tan{\left(x \right)} + \frac{\pi}{4}}{x}\right) = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\tan{\left(x \right)} + \frac{\pi}{4}}{x}\right) x → ∞ lim ( x tan ( x ) + 4 π ) = x → ∞ lim ( x tan ( x ) + 4 π ) Возьмём предел y = x lim x → ∞ ( tan ( x ) + π 4 x ) y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\tan{\left(x \right)} + \frac{\pi}{4}}{x}\right) y = x x → ∞ lim ( x tan ( x ) + 4 π )
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).tan ( x ) + π 4 = − tan ( x ) + π 4 \tan{\left(x \right)} + \frac{\pi}{4} = - \tan{\left(x \right)} + \frac{\pi}{4} tan ( x ) + 4 π = − tan ( x ) + 4 π tan ( x ) + π 4 = tan ( x ) − π 4 \tan{\left(x \right)} + \frac{\pi}{4} = \tan{\left(x \right)} - \frac{\pi}{4} tan ( x ) + 4 π = tan ( x ) − 4 π 
