График функции y = tan(x)+(pi/4)

Вы ввели

                pi
f(x) = tan(x) + --
                4 

$$f{\left(x \right)} = \tan{\left(x \right)} + \frac{\pi}{4}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\tan{\left(x \right)} + \frac{\pi}{4} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{\pi}{4} \right)}$$
Численное решение
$$x_{1} = 8.75900421074103$$
$$x_{2} = 21.3253748251002$$
$$x_{3} = -35.2232929395161$$
$$x_{4} = -0.665773750028354$$
$$x_{5} = 24.46696747869$$
$$x_{6} = -10.0905517107977$$
$$x_{7} = 90.4404132040757$$
$$x_{8} = -22.6569223251569$$
$$x_{9} = 68.4492646289471$$
$$x_{10} = 65.3076719753573$$
$$x_{11} = 74.7324499361267$$
$$x_{12} = 37.0333380930492$$
$$x_{13} = 81.0156352433063$$
$$x_{14} = 93.5820058576655$$
$$x_{15} = -69.7808121290038$$
$$x_{16} = 84.1572278968961$$
$$x_{17} = 96.7235985112552$$
$$x_{18} = -41.5064782466957$$
$$x_{19} = 62.1660793217675$$
$$x_{20} = -6.94895905720794$$
$$x_{21} = -50.931256207465$$
$$x_{22} = -25.7985149787467$$
$$x_{23} = -28.9401076323365$$
$$x_{24} = -88.6303680505426$$
$$x_{25} = -38.3648855931059$$
$$x_{26} = -72.9224047825936$$
$$x_{27} = -16.3737370179773$$
$$x_{28} = 2.47581890356144$$
$$x_{29} = -66.639219475414$$
$$x_{30} = -85.4887753969528$$
$$x_{31} = -101.196738664902$$
$$x_{32} = -44.6480709002855$$
$$x_{33} = -54.0728488610548$$
$$x_{34} = 52.7413013609981$$
$$x_{35} = 59.0244866681777$$
$$x_{36} = 18.1837821715104$$
$$x_{37} = 15.0421895179206$$
$$x_{38} = -82.347182743363$$
$$x_{39} = -63.4976268218242$$
$$x_{40} = 77.8740425897165$$
$$x_{41} = -19.5153296715671$$
$$x_{42} = 46.4581160538185$$
$$x_{43} = -98.0551460113119$$
$$x_{44} = -47.7896635538753$$
$$x_{45} = 40.174930746639$$
$$x_{46} = -3.80736640361815$$
$$x_{47} = 99.865191164845$$
$$x_{48} = -94.9135533577222$$
$$x_{49} = -32.0817002859263$$
$$x_{50} = -76.0639974361834$$
$$x_{51} = -57.2144415146446$$
$$x_{52} = 43.3165234002288$$
$$x_{53} = -60.3560341682344$$
$$x_{54} = 30.7501527858696$$
$$x_{55} = 55.8828940145879$$
$$x_{56} = -13.2321443643875$$
$$x_{57} = -79.2055900897732$$
$$x_{58} = 71.5908572825369$$
$$x_{59} = 11.9005968643308$$
$$x_{60} = 5.61741155715123$$
$$x_{61} = 87.2988205504859$$
$$x_{62} = 49.5997087074083$$
$$x_{63} = 33.8917454394594$$
$$x_{64} = -91.7719607041324$$
$$x_{65} = 27.6085601322798$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в tan(x) + pi/4.
$$\tan{\left(0 \right)} + \frac{\pi}{4}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = \frac{\pi}{4}$$
Точка:

(0, pi/4)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\tan^{2}{\left(x \right)} + 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[0, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right]$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\tan{\left(x \right)} + \frac{\pi}{4}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\tan{\left(x \right)} + \frac{\pi}{4}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции tan(x) + pi/4, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\tan{\left(x \right)} + \frac{\pi}{4}}{x}\right) = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\tan{\left(x \right)} + \frac{\pi}{4}}{x}\right)$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\tan{\left(x \right)} + \frac{\pi}{4}}{x}\right)$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\tan{\left(x \right)} + \frac{\pi}{4}}{x}\right) = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\tan{\left(x \right)} + \frac{\pi}{4}}{x}\right)$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\tan{\left(x \right)} + \frac{\pi}{4}}{x}\right)$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\tan{\left(x \right)} + \frac{\pi}{4} = - \tan{\left(x \right)} + \frac{\pi}{4}$$
- Нет
$$\tan{\left(x \right)} + \frac{\pi}{4} = \tan{\left(x \right)} - \frac{\pi}{4}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График