График функции y = tan(x)+2

Вы ввели

f(x) = tan(x) + 2

$$f{\left(x \right)} = \tan{\left(x \right)} + 2$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\tan{\left(x \right)} + 2 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - \operatorname{atan}{\left(2 \right)}$$
Численное решение
$$x_{1} = -29.3814826001022$$
$$x_{2} = 52.2999263932324$$
$$x_{3} = 83.7158529291303$$
$$x_{4} = 8.31762924297529$$
$$x_{5} = 96.2822235434895$$
$$x_{6} = 46.0167410860528$$
$$x_{7} = 61.7247043540018$$
$$x_{8} = -48.231038521641$$
$$x_{9} = -41.9478532144614$$
$$x_{10} = -16.8151119857431$$
$$x_{11} = -4.24874137138388$$
$$x_{12} = -35.6646679072818$$
$$x_{13} = -63.93900178959$$
$$x_{14} = -26.2398899465124$$
$$x_{15} = 74.2910749683609$$
$$x_{16} = 80.5742602755405$$
$$x_{17} = -117.346076900616$$
$$x_{18} = -19.9567046393328$$
$$x_{19} = 30.3087778181038$$
$$x_{20} = -101.638113632667$$
$$x_{21} = 89.9990382363099$$
$$x_{22} = -85.9301503647185$$
$$x_{23} = 68.0078896611814$$
$$x_{24} = 99.4238161970793$$
$$x_{25} = 58.583111700412$$
$$x_{26} = 14.6008145501549$$
$$x_{27} = -126.770854861386$$
$$x_{28} = -7.39033402497368$$
$$x_{29} = 36.5919631252834$$
$$x_{30} = 24.0255925109243$$
$$x_{31} = -79.6469650575389$$
$$x_{32} = 17.7424072037447$$
$$x_{33} = 39.7335557788732$$
$$x_{34} = -57.6558164824104$$
$$x_{35} = -70.2221870967695$$
$$x_{36} = -92.2133356718981$$
$$x_{37} = -76.5053724039491$$
$$x_{38} = -89.0717430183083$$
$$x_{39} = -51.3726311752308$$
$$x_{40} = -13.6735193321533$$
$$x_{41} = 2.0344439357957$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в tan(x) + 2.
$$\tan{\left(0 \right)} + 2$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 2$$
Точка:

(0, 2)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\tan^{2}{\left(x \right)} + 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[0, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right]$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\tan{\left(x \right)} + 2\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\tan{\left(x \right)} + 2\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции tan(x) + 2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\tan{\left(x \right)} + 2}{x}\right) = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\tan{\left(x \right)} + 2}{x}\right)$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\tan{\left(x \right)} + 2}{x}\right)$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\tan{\left(x \right)} + 2}{x}\right) = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\tan{\left(x \right)} + 2}{x}\right)$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\tan{\left(x \right)} + 2}{x}\right)$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\tan{\left(x \right)} + 2 = 2 - \tan{\left(x \right)}$$
- Нет
$$\tan{\left(x \right)} + 2 = \tan{\left(x \right)} - 2$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График