График функции y = tan(x)+cos(x^2)

Вы ввели

                   / 2\
f(x) = tan(x) + cos\x /

$$f{\left (x \right )} = \cos{\left (x^{2} \right )} + \tan{\left (x \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\cos{\left (x^{2} \right )} + \tan{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Численное решение
$$x_{1} = 87.5230332317$$
$$x_{2} = 74.8277507054$$
$$x_{3} = 15.9919846975$$
$$x_{4} = -27.7267942172$$
$$x_{5} = -18.1468105754$$
$$x_{6} = 84.8097261935$$
$$x_{7} = -24.3738329681$$
$$x_{8} = 37.6192419457$$
$$x_{9} = -3.34754173545$$
$$x_{10} = 81.6772682007$$
$$x_{11} = -28.815052441$$
$$x_{12} = -55.8005358739$$
$$x_{13} = -84.2102474246$$
$$x_{14} = -72.2915926108$$
$$x_{15} = 34.2032809509$$
$$x_{16} = -0.716580746527$$
$$x_{17} = -94.3828495461$$
$$x_{18} = 75.039459236$$
$$x_{19} = 18.7983482953$$
$$x_{20} = 34.2592664778$$
$$x_{21} = 41.6017800135$$
$$x_{22} = -69.04561726$$
$$x_{23} = -37.1492975622$$
$$x_{24} = -71.7501747993$$
$$x_{25} = 2.41214146499$$
$$x_{26} = 71.697562085$$
$$x_{27} = -3.67498444077$$
$$x_{28} = -62.2960840111$$
$$x_{29} = 18.2273908184$$
$$x_{30} = -91.4214147682$$
$$x_{31} = 96.9783920889$$
$$x_{32} = -12.1996484133$$
$$x_{33} = -35.1709800828$$
$$x_{34} = 6.26512965326$$
$$x_{35} = -80.9358690144$$
$$x_{36} = -75.5646306681$$
$$x_{37} = -12.9819989828$$
$$x_{38} = 59.1666246486$$
$$x_{39} = 9.10580219638$$
$$x_{40} = 28.7619653593$$
$$x_{41} = -12.466284329$$
$$x_{42} = 10.1603770925$$
$$x_{43} = -47.2800301642$$
$$x_{44} = 62.4057310787$$
$$x_{45} = 84.514702832$$
$$x_{46} = 53.3648903128$$
$$x_{47} = 31.3315013455$$
$$x_{48} = 94.3661144095$$
$$x_{49} = -47.7496929866$$
$$x_{50} = 100.082295676$$
$$x_{51} = -46.7812360215$$
$$x_{52} = -18.5385308652$$
$$x_{53} = 21.9605350617$$
$$x_{54} = -40.3131774276$$
$$x_{55} = -21.7499030801$$
$$x_{56} = 40.2733369227$$
$$x_{57} = -74.8784439003$$
$$x_{58} = -66.310001867$$
$$x_{59} = 54.030617432$$
$$x_{60} = -82.3045723706$$
$$x_{61} = 6.91849993321$$
$$x_{62} = 44.2549391288$$
$$x_{63} = 65.9275314191$$
$$x_{64} = -97.7005721848$$
$$x_{65} = 72.5924591087$$
$$x_{66} = -35.2635942316$$
$$x_{67} = -53.7499720831$$
$$x_{68} = 49.9320286896$$
$$x_{69} = -46.3849772047$$
$$x_{70} = 85.4230795175$$
$$x_{71} = -99.9003873152$$
$$x_{72} = 30.888432146$$
$$x_{73} = 82.3609659159$$
$$x_{74} = 25.0368541425$$
$$x_{75} = 47.2464289662$$
$$x_{76} = -8.81693952733$$
$$x_{77} = -38.1121110059$$
$$x_{78} = 63.5325062802$$
$$x_{79} = 59.4344710111$$
$$x_{80} = -30.8389445182$$
$$x_{81} = -91.6844714936$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в tan(x) + cos(x^2).
$$\tan{\left (0 \right )} + \cos{\left (0^{2} \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 1$$
Точка:

(0, 1)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- 2 x \sin{\left (x^{2} \right )} + \tan^{2}{\left (x \right )} + 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 68.1183342338$$
$$x_{2} = -92.9655197592$$
$$x_{3} = -83.9814796078$$
$$x_{4} = -45.8776601822$$
$$x_{5} = -2.4328044109$$
$$x_{6} = 8.68925074323$$
$$x_{7} = -91.9116640086$$
$$x_{8} = 78.1087747216$$
$$x_{9} = 22.1384628746$$
$$x_{10} = -56.4964535316$$
$$x_{11} = 30.0172098166$$
$$x_{12} = 6.14671337515$$
$$x_{13} = 3.93050296083$$
$$x_{14} = 28.2485795517$$
$$x_{15} = -63.7589140605$$
$$x_{16} = 13.7382378731$$
$$x_{17} = 12.5347346363$$
$$x_{18} = -69.9164028962$$
$$x_{19} = -67.7498695745$$
$$x_{20} = -13.7211702934$$
$$x_{21} = 84.0934858637$$
$$x_{22} = 34.3693746456$$
$$x_{23} = 15.6549117333$$
$$x_{24} = 70.2306009022$$
$$x_{25} = 9.86546389335$$
$$x_{26} = 54.1108145368$$
$$x_{27} = 57.9999498645$$
$$x_{28} = -68.3716050232$$
$$x_{29} = 3.04270635149$$
$$x_{30} = -43.8123824945$$
$$x_{31} = 46.2202473354$$
$$x_{32} = 82.2043654189$$
$$x_{33} = -19.8186250014$$
$$x_{34} = -27.4580299744$$
$$x_{35} = 98.1114108533$$
$$x_{36} = -2.09588559868$$
$$x_{37} = -22.0673889113$$
$$x_{38} = -95.9735865682$$
$$x_{39} = -9.87176274955$$
$$x_{40} = 87.498880787$$
$$x_{41} = 40.2626317389$$
$$x_{42} = 31.9044843348$$
$$x_{43} = -59.8973296088$$
$$x_{44} = 36.2530669995$$
$$x_{45} = 16.2460929671$$
$$x_{46} = 56.3295472803$$
$$x_{47} = 68.6696558343$$
$$x_{48} = -52.190426094$$
$$x_{49} = -23.7313998796$$
$$x_{50} = -25.6847737526$$
$$x_{51} = -89.8028293228$$
$$x_{52} = -49.3433083386$$
$$x_{53} = -55.8535288444$$
$$x_{54} = -14.3318867618$$
$$x_{55} = -8.50971993692$$
$$x_{56} = 52.3695850394$$
$$x_{57} = 27.8559129258$$
$$x_{58} = 18.2496314797$$
$$x_{59} = -29.123712801$$
$$x_{60} = -72.17169557$$
$$x_{61} = 64.5129107857$$
$$x_{62} = 74.4010018784$$
$$x_{63} = 94.1070893758$$
$$x_{64} = 77.867093939$$
$$x_{65} = -11.7532926678$$
$$x_{66} = -69.5787558279$$
$$x_{67} = -15.7549240303$$
$$x_{68} = -47.0284009776$$
$$x_{69} = -33.8630525635$$
$$x_{70} = 20.2272901009$$
$$x_{71} = 34.4146131804$$
$$x_{72} = -5.8870598635$$
$$x_{73} = -35.6709541608$$
$$x_{74} = -74.2954330323$$
$$x_{75} = 48.4782092361$$
$$x_{76} = 44.6294448198$$
$$x_{77} = -4.00066171313$$
$$x_{78} = -78.8493427447$$
$$x_{79} = -77.3404377612$$
$$x_{80} = 42.2479257624$$
$$x_{81} = -53.877824083$$
$$x_{82} = 11.2460230286$$
Зн. экстремумы в точках:

(68.1183342338, -2.54586557292711)

(-92.9655197592, 2.3712579701284)

(-83.9814796078, 0.11914449549781)

(-45.8776601822, 3.9663152835785)

(-2.4328044109, 1.7916732129875)

(8.68925074323, 0.0895868178904509)

(-91.9116640086, -2.04092200467306)

(78.1087747216, 0.540087596744289)

(22.1384628746, 1.14812284412731)

(-56.4964535316, 1.05222235860918)

(30.0172098166, -6.57674361756037)

(6.14671337515, 0.85923413950668)

(3.93050296083, 0.040430611088929)

(28.2485795517, 0.97408310836184)

(-63.7589140605, -0.332919890808011)

(13.7382378731, 3.34277335207737)

(12.5347346363, 0.967555978865529)

(-69.9164028962, -0.032562780554473)

(-67.7498695745, 3.81021894752999)

(-13.7211702934, -1.28878930970785)

(84.0934858637, -1.89398866320373)

(34.3693746456, 0.809489924606121)

(15.6549117333, 0.946385581256425)

(70.2306009022, 3.04211168825189)

(9.86546389335, -0.526460203822467)

(54.1108145368, 1.84857461852539)

(57.9999498645, 7.53218243539688)

(-68.3716050232, 1.91931415617083)

(3.04270635149, -1.08534493069702)

(-43.8123824945, -0.828362022700693)

(46.2202473354, -0.270027699837534)

(82.2043654189, -0.423473043322666)

(-19.8186250014, -2.45318766592255)

(-27.4580299744, 2.06305004071117)

(98.1114108533, 1.88064019819316)

(-2.09588559868, 1.41186745190235)

(-22.0673889113, -1.07612867067247)

(-95.9735865682, 7.37524000599151)

(-9.87176274955, -1.47739994444155)

(87.498880787, -1.5025594374682)

(40.2626317389, 0.347425849118216)

(31.9044843348, 1.53133504137811)

(-59.8973296088, 0.789881621527525)

(36.2530669995, -7.51994525450785)

(16.2460929671, 1.59601857459371)

(56.3295472803, 0.777260493628857)

(68.6696558343, -1.47733282972771)

(-52.190426094, 1.70781361068177)

(-23.7313998796, 5.17294950638548)

(-25.6847737526, 0.383734186771758)

(-89.8028293228, 2.65278380356037)

(-49.3433083386, 0.319590005354252)

(-55.8535288444, -0.16587236663157)

(-14.3318867618, 4.70764771845128)

(-8.50971993692, 0.312452018156308)

(52.3695850394, -2.69317924309813)

(27.8559129258, -1.44444880484753)

(18.2496314797, 0.315165077145265)

(-29.123712801, -0.137682706167948)

(-72.17169557, 1.0851159484995)

(64.5129107857, -9.80087913935124)

(74.4010018784, -0.548192426393238)

(94.1070893758, -1.1416112163281)

(77.867093939, 0.203249981564333)

(-11.7532926678, 2.05288628700196)

(-69.5787558279, -1.50004695269672)

(-15.7549240303, -1.04648936866708)

(-47.0284009776, 1.09572255296553)

(-33.8630525635, -0.166814115986183)

(20.2272901009, 5.85617690462768)

(34.4146131804, -1.14377687388577)

(-5.8870598635, -0.576775175841372)

(-35.6709541608, -3.02924489360271)

(-74.2954330323, 0.978944828199889)

(48.4782092361, 5.52173529751107)

(44.6294448198, 1.75555848135537)

(-4.00066171313, -2.11549310837631)

(-78.8493427447, -1.31978096507958)

(-77.3404377612, 3.56622132026992)

(42.2479257624, 6.95367225159452)

(-53.877824083, 0.491023258211034)

(11.2460230286, -3.21901376908531)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{82} = 68.1183342338$$
$$x_{82} = -92.9655197592$$
$$x_{82} = -83.9814796078$$
$$x_{82} = -91.9116640086$$
$$x_{82} = 30.0172098166$$
$$x_{82} = 3.93050296083$$
$$x_{82} = -67.7498695745$$
$$x_{82} = 84.0934858637$$
$$x_{82} = 9.86546389335$$
$$x_{82} = 57.9999498645$$
$$x_{82} = 3.04270635149$$
$$x_{82} = -43.8123824945$$
$$x_{82} = 82.2043654189$$
$$x_{82} = -19.8186250014$$
$$x_{82} = -2.09588559868$$
$$x_{82} = -22.0673889113$$
$$x_{82} = -9.87176274955$$
$$x_{82} = 87.498880787$$
$$x_{82} = 68.6696558343$$
$$x_{82} = -52.190426094$$
$$x_{82} = -23.7313998796$$
$$x_{82} = -89.8028293228$$
$$x_{82} = -49.3433083386$$
$$x_{82} = -55.8535288444$$
$$x_{82} = -14.3318867618$$
$$x_{82} = -8.50971993692$$
$$x_{82} = 52.3695850394$$
$$x_{82} = 27.8559129258$$
$$x_{82} = 64.5129107857$$
$$x_{82} = 94.1070893758$$
$$x_{82} = -69.5787558279$$
$$x_{82} = -15.7549240303$$
$$x_{82} = -33.8630525635$$
$$x_{82} = 34.4146131804$$
$$x_{82} = -5.8870598635$$
$$x_{82} = -35.6709541608$$
$$x_{82} = -74.2954330323$$
$$x_{82} = -4.00066171313$$
$$x_{82} = -78.8493427447$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{82} = -45.8776601822$$
$$x_{82} = -2.4328044109$$
$$x_{82} = 8.68925074323$$
$$x_{82} = 78.1087747216$$
$$x_{82} = 22.1384628746$$
$$x_{82} = -56.4964535316$$
$$x_{82} = 6.14671337515$$
$$x_{82} = 28.2485795517$$
$$x_{82} = -63.7589140605$$
$$x_{82} = 13.7382378731$$
$$x_{82} = 12.5347346363$$
$$x_{82} = -69.9164028962$$
$$x_{82} = -13.7211702934$$
$$x_{82} = 34.3693746456$$
$$x_{82} = 15.6549117333$$
$$x_{82} = 70.2306009022$$
$$x_{82} = 54.1108145368$$
$$x_{82} = -68.3716050232$$
$$x_{82} = 46.2202473354$$
$$x_{82} = -27.4580299744$$
$$x_{82} = 98.1114108533$$
$$x_{82} = -95.9735865682$$
$$x_{82} = 40.2626317389$$
$$x_{82} = 31.9044843348$$
$$x_{82} = -59.8973296088$$
$$x_{82} = 36.2530669995$$
$$x_{82} = 16.2460929671$$
$$x_{82} = 56.3295472803$$
$$x_{82} = -25.6847737526$$
$$x_{82} = 18.2496314797$$
$$x_{82} = -29.123712801$$
$$x_{82} = -72.17169557$$
$$x_{82} = 74.4010018784$$
$$x_{82} = 77.867093939$$
$$x_{82} = -11.7532926678$$
$$x_{82} = -47.0284009776$$
$$x_{82} = 20.2272901009$$
$$x_{82} = 48.4782092361$$
$$x_{82} = 44.6294448198$$
$$x_{82} = -77.3404377612$$
$$x_{82} = 42.2479257624$$
$$x_{82} = -53.877824083$$
$$x_{82} = 11.2460230286$$
Убывает на промежутках

[94.1070893758, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, -92.9655197592]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$2 \left(- 2 x^{2} \cos{\left (x^{2} \right )} + \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \tan{\left (x \right )} - \sin{\left (x^{2} \right )}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 20.5655508112$$
$$x_{2} = -67.7832678293$$
$$x_{3} = -65.8556661172$$
$$x_{4} = 0.445673066359$$
$$x_{5} = 35.9108129602$$
$$x_{6} = -33.7930491886$$
$$x_{7} = -21.2325610853$$
$$x_{8} = 12.8427301168$$
$$x_{9} = -69.7703217269$$
$$x_{10} = 98.5028346044$$
$$x_{11} = -38.0355609694$$
$$x_{12} = -16.0012846502$$
$$x_{13} = -43.2892586018$$
$$x_{14} = -63.8452495292$$
$$x_{15} = -71.8773202819$$
$$x_{16} = -97.7504684676$$
$$x_{17} = -63.9926900316$$
$$x_{18} = -96.0483337368$$
$$x_{19} = -9.12448205843$$
$$x_{20} = -93.7978158027$$
$$x_{21} = 42.0001026316$$
$$x_{22} = 40.1647573019$$
$$x_{23} = 62.7533784604$$
$$x_{24} = 73.6048113866$$
$$x_{25} = -15.0918961493$$
$$x_{26} = -49.7709339746$$
$$x_{27} = 22.314637914$$
$$x_{28} = 55.3022225978$$
$$x_{29} = -51.75481041$$
$$x_{30} = -35.9118700365$$
$$x_{31} = -85.7673538888$$
$$x_{32} = 60.2503989142$$
$$x_{33} = -57.7477085027$$
$$x_{34} = -75.7296338481$$
$$x_{35} = -13.0851798139$$
$$x_{36} = 90.0382162593$$
$$x_{37} = -8.2276074058$$
$$x_{38} = 94.2155512494$$
$$x_{39} = 10.2596170748$$
$$x_{40} = -42.0000059365$$
$$x_{41} = -27.3727660861$$
$$x_{42} = 13.5562579225$$
$$x_{43} = 82.3285267174$$
$$x_{44} = -47.8726611034$$
$$x_{45} = 27.9969249847$$
$$x_{46} = -8.95102751562$$
$$x_{47} = 0$$
$$x_{48} = 12.2158754482$$
$$x_{49} = 30.1061628668$$
$$x_{50} = -2.80941977797$$
$$x_{51} = 46.0326689641$$
$$x_{52} = -112.190868046$$
$$x_{53} = -17.857246556$$
$$x_{54} = 14.2758853003$$
$$x_{55} = 54.1251795118$$
$$x_{56} = -23.7497571818$$
$$x_{57} = 3.75961200735$$
$$x_{58} = 6.74960312238$$
$$x_{59} = -92.6314905396$$
$$x_{60} = 8.2088382701$$
$$x_{61} = 6.26760194053$$
$$x_{62} = -46.4064904186$$
$$x_{63} = 74.4536143551$$
$$x_{64} = -30.261895691$$
$$x_{65} = 92.159081047$$
$$x_{66} = -91.9543176418$$
$$x_{67} = 45.75914159$$
$$x_{68} = 26.2600190523$$
$$x_{69} = 34.2088273196$$
$$x_{70} = -5.74365297914$$
$$x_{71} = -3.76979583176$$
$$x_{72} = 70.1520087349$$
$$x_{73} = 18.1190621839$$
$$x_{74} = 79.8096614571$$
$$x_{75} = 62.225502869$$
$$x_{76} = -53.6588286146$$
$$x_{77} = 58.2889558589$$
$$x_{78} = -21.744205397$$
$$x_{79} = 21.0095309178$$
$$x_{80} = -25.2224774674$$
$$x_{81} = 32.1249583614$$
$$x_{82} = 51.9625535735$$
$$x_{83} = 56.1199330159$$
$$x_{84} = 4.18333313042$$
$$x_{85} = -2.2598534477$$
$$x_{86} = -49.3589505337$$
$$x_{87} = 68.1069912798$$
$$x_{88} = -84.2148773011$$
$$x_{89} = 84.2521727159$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[98.5028346044, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, -97.7504684676]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo

True

Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \lim_{x \to -\infty}\left(\cos{\left (x^{2} \right )} + \tan{\left (x \right )}\right)$$

True

Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \lim_{x \to \infty}\left(\cos{\left (x^{2} \right )} + \tan{\left (x \right )}\right)$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции tan(x) + cos(x^2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(\cos{\left (x^{2} \right )} + \tan{\left (x \right )}\right)\right)$$

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(\cos{\left (x^{2} \right )} + \tan{\left (x \right )}\right)\right)$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\cos{\left (x^{2} \right )} + \tan{\left (x \right )} = \cos{\left (x^{2} \right )} - \tan{\left (x \right )}$$
- Нет
$$\cos{\left (x^{2} \right )} + \tan{\left (x \right )} = - \cos{\left (x^{2} \right )} - - \tan{\left (x \right )}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной