График функции y = tan(x)*cot(x)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
f(x) = tan(x)*cot(x)
f(x)=tan(x)cot(x)f{\left(x \right)} = \tan{\left(x \right)} \cot{\left(x \right)}
График функции
02468-8-6-4-2-101002
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
tan(x)cot(x)=0\tan{\left(x \right)} \cot{\left(x \right)} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=0x_{1} = 0
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
Численное решение
x1=0x_{1} = 0
x2=1.5707963267949x_{2} = 1.5707963267949
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в tan(x)*cot(x).
~tan(0)\tilde{\infty} \tan{\left(0 \right)}
Результат:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- решений у ур-ния нет
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
первая производная
(tan2(x)+1)cot(x)+(cot2(x)1)tan(x)=0\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cot{\left(x \right)} + \left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) \tan{\left(x \right)} = 0
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
вторая производная
2((tan2(x)+1)(cot2(x)+1)+(tan2(x)+1)tan(x)cot(x)+(cot2(x)+1)tan(x)cot(x))=02 \left(- \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) + \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(x \right)} \cot{\left(x \right)} + \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(x \right)} \cot{\left(x \right)}\right) = 0
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx(tan(x)cot(x))=,\lim_{x \to -\infty}\left(\tan{\left(x \right)} \cot{\left(x \right)}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=,y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
limx(tan(x)cot(x))=,\lim_{x \to \infty}\left(\tan{\left(x \right)} \cot{\left(x \right)}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=,y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции tan(x)*cot(x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(tan(x)cot(x)x)=limx(tan(x)cot(x)x)\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\tan{\left(x \right)} \cot{\left(x \right)}}{x}\right) = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\tan{\left(x \right)} \cot{\left(x \right)}}{x}\right)
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
y=xlimx(tan(x)cot(x)x)y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\tan{\left(x \right)} \cot{\left(x \right)}}{x}\right)
limx(tan(x)cot(x)x)=limx(tan(x)cot(x)x)\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\tan{\left(x \right)} \cot{\left(x \right)}}{x}\right) = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\tan{\left(x \right)} \cot{\left(x \right)}}{x}\right)
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
y=xlimx(tan(x)cot(x)x)y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\tan{\left(x \right)} \cot{\left(x \right)}}{x}\right)
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
tan(x)cot(x)=tan(x)cot(x)\tan{\left(x \right)} \cot{\left(x \right)} = \tan{\left(x \right)} \cot{\left(x \right)}
- Нет
tan(x)cot(x)=tan(x)cot(x)\tan{\left(x \right)} \cot{\left(x \right)} = - \tan{\left(x \right)} \cot{\left(x \right)}
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График
График функции y = tan(x)*cot(x) /media/krcore-image-pods/hash/xy/d/13/1d6c8196832110954a30860d0dfc9.png