Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
tan(x)cot(x)=0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
x1=0
x2=2π
Численное решение
x1=0
x2=1.5707963267949
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в tan(x)*cot(x).
∞~tan(0)
Результат:
f(0)=NaN
- решений у ур-ния нет
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
dxdf(x)=0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
dxdf(x)=
первая производная
(tan2(x)+1)cot(x)+(−cot2(x)−1)tan(x)=0
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
dx2d2f(x)=0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
dx2d2f(x)=
вторая производная
2(−(tan2(x)+1)(cot2(x)+1)+(tan2(x)+1)tan(x)cot(x)+(cot2(x)+1)tan(x)cot(x))=0
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
x→−∞lim(tan(x)cot(x))=⟨−∞,∞⟩
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=⟨−∞,∞⟩
x→∞lim(tan(x)cot(x))=⟨−∞,∞⟩
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=⟨−∞,∞⟩
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции tan(x)*cot(x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
x→−∞lim(xtan(x)cot(x))=x→−∞lim(xtan(x)cot(x))
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
y=xx→−∞lim(xtan(x)cot(x))
x→∞lim(xtan(x)cot(x))=x→∞lim(xtan(x)cot(x))
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
y=xx→∞lim(xtan(x)cot(x))
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
tan(x)cot(x)=tan(x)cot(x)
- Нет
tan(x)cot(x)=−tan(x)cot(x)
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной