График функции y = tan(x)*cot(x)

Вы ввели

f(x) = tan(x)*cot(x)

$$f{\left(x \right)} = \tan{\left(x \right)} \cot{\left(x \right)}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\tan{\left(x \right)} \cot{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1.5707963267949$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в tan(x)*cot(x).
$$\tilde{\infty} \tan{\left(0 \right)}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = \text{NaN}$$
- решений у ур-ния нет

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cot{\left(x \right)} + \left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) \tan{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$2 \left(- \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) + \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(x \right)} \cot{\left(x \right)} + \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(x \right)} \cot{\left(x \right)}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\tan{\left(x \right)} \cot{\left(x \right)}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\tan{\left(x \right)} \cot{\left(x \right)}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции tan(x)*cot(x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\tan{\left(x \right)} \cot{\left(x \right)}}{x}\right) = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\tan{\left(x \right)} \cot{\left(x \right)}}{x}\right)$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\tan{\left(x \right)} \cot{\left(x \right)}}{x}\right)$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\tan{\left(x \right)} \cot{\left(x \right)}}{x}\right) = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\tan{\left(x \right)} \cot{\left(x \right)}}{x}\right)$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\tan{\left(x \right)} \cot{\left(x \right)}}{x}\right)$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\tan{\left(x \right)} \cot{\left(x \right)} = \tan{\left(x \right)} \cot{\left(x \right)}$$
- Нет
$$\tan{\left(x \right)} \cot{\left(x \right)} = - \tan{\left(x \right)} \cot{\left(x \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График