График функции y = tan(x)*cot(x)+1

Вы ввели

f(x) = tan(x)*cot(x) + 1

$$f{\left (x \right )} = \tan{\left (x \right )} \cot{\left (x \right )} + 1$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\tan{\left (x \right )} \cot{\left (x \right )} + 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \cot{\left (x \right )} + \left(- \cot^{2}{\left (x \right )} - 1\right) \tan{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$2 \left(- \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) + \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \tan{\left (x \right )} \cot{\left (x \right )} + \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \tan{\left (x \right )} \cot{\left (x \right )}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo

True

Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \lim_{x \to -\infty}\left(\tan{\left (x \right )} \cot{\left (x \right )} + 1\right)$$

True

Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \lim_{x \to \infty}\left(\tan{\left (x \right )} \cot{\left (x \right )} + 1\right)$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции tan(x)*cot(x) + 1, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(\tan{\left (x \right )} \cot{\left (x \right )} + 1\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(\tan{\left (x \right )} \cot{\left (x \right )} + 1\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\tan{\left (x \right )} \cot{\left (x \right )} + 1 = \tan{\left (x \right )} \cot{\left (x \right )} + 1$$
- Нет
$$\tan{\left (x \right )} \cot{\left (x \right )} + 1 = - \tan{\left (x \right )} \cot{\left (x \right )} - 1$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной