График функции y = tan(x)^2

Вы ввели

          2   
f(x) = tan (x)

$$f{\left(x \right)} = \tan^{2}{\left(x \right)}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\tan^{2}{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 87.9645943363399$$
$$x_{2} = 81.681409232902$$
$$x_{3} = -72.2566308398808$$
$$x_{4} = 21.9911485852339$$
$$x_{5} = -9.42477816679559$$
$$x_{6} = 37.6991120687848$$
$$x_{7} = -94.2477794213743$$
$$x_{8} = 43.9822971695754$$
$$x_{9} = -75.3982239115218$$
$$x_{10} = -69.1150388967924$$
$$x_{11} = 50.2654824463153$$
$$x_{12} = 75.3982242393431$$
$$x_{13} = 59.6902602145004$$
$$x_{14} = -59.6902604582742$$
$$x_{15} = 0$$
$$x_{16} = -84.8230005709274$$
$$x_{17} = 18.8495554527235$$
$$x_{18} = 28.2743338651162$$
$$x_{19} = 97.389372828611$$
$$x_{20} = -81.6814090388783$$
$$x_{21} = 53.4070756504516$$
$$x_{22} = 25.1327401464195$$
$$x_{23} = -91.1061874849821$$
$$x_{24} = -50.265482258314$$
$$x_{25} = 65.9734457532278$$
$$x_{26} = -47.1238903089396$$
$$x_{27} = -12.5663701141083$$
$$x_{28} = -28.274333676669$$
$$x_{29} = 72.2566310277136$$
$$x_{30} = -6.28318509494079$$
$$x_{31} = -100.530964462409$$
$$x_{32} = 91.1061859604104$$
$$x_{33} = -3.14159313419367$$
$$x_{34} = -97.3893724932976$$
$$x_{35} = 69.1150373568381$$
$$x_{36} = 78.53981615825$$
$$x_{37} = 56.5486675771117$$
$$x_{38} = 59.690260650792$$
$$x_{39} = 100.530964739312$$
$$x_{40} = 34.5575189958939$$
$$x_{41} = -53.4070753298489$$
$$x_{42} = -56.5486672888531$$
$$x_{43} = 47.1238887521935$$
$$x_{44} = -31.4159267482748$$
$$x_{45} = -34.5575187016351$$
$$x_{46} = 40.8407040393519$$
$$x_{47} = 15.7079634868755$$
$$x_{48} = -78.5398158757739$$
$$x_{49} = 6.28318528408307$$
$$x_{50} = 31.4159270619219$$
$$x_{51} = -15.7079632968116$$
$$x_{52} = -21.9911485864129$$
$$x_{53} = 84.8230012117849$$
$$x_{54} = -65.973445764663$$
$$x_{55} = -37.6991118775909$$
$$x_{56} = -43.9822971744223$$
$$x_{57} = 3.14159153945546$$
$$x_{58} = -62.8318519640761$$
$$x_{59} = 62.8318526257023$$
$$x_{60} = -25.1327417214108$$
$$x_{61} = 9.42477847373977$$
$$x_{62} = 94.2477796093519$$
$$x_{63} = 12.5663704145927$$
$$x_{64} = -87.9645943581507$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в tan(x)^2.
$$\tan^{2}{\left(0 \right)}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\left(2 \tan^{2}{\left(x \right)} + 2\right) \tan{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 0)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
$$\left[0, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(3 \tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \tan^{2}{\left(x \right)} = \left\langle 0, \infty\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle 0, \infty\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} \tan^{2}{\left(x \right)} = \left\langle 0, \infty\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle 0, \infty\right\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции tan(x)^2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\tan^{2}{\left(x \right)}}{x}\right) = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\tan^{2}{\left(x \right)}}{x}\right)$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\tan^{2}{\left(x \right)}}{x}\right)$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\tan^{2}{\left(x \right)}}{x}\right) = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\tan^{2}{\left(x \right)}}{x}\right)$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\tan^{2}{\left(x \right)}}{x}\right)$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\tan^{2}{\left(x \right)} = \tan^{2}{\left(x \right)}$$
- Да
$$\tan^{2}{\left(x \right)} = - \tan^{2}{\left(x \right)}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной

График