График функции y = tan(x^2+1)

Вы ввели

          / 2    \
f(x) = tan\x  + 1/

$$f{\left (x \right )} = \tan{\left (x^{2} + 1 \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\tan{\left (x^{2} + 1 \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Численное решение
$$x_{1} = 45.6963796666$$
$$x_{2} = -91.7522114808$$
$$x_{3} = 56.0409908334$$
$$x_{4} = 20.3393763492$$
$$x_{5} = -55.6754160208$$
$$x_{6} = -97.4798326687$$
$$x_{7} = -14.0328306901$$
$$x_{8} = -12.2391358916$$
$$x_{9} = 39.021435609$$
$$x_{10} = 96.1330618823$$
$$x_{11} = -8.25318352995$$
$$x_{12} = 18.221109222$$
$$x_{13} = 63.9480541922$$
$$x_{14} = 48.4655682406$$
$$x_{15} = 31.4420369232$$
$$x_{16} = 51.2690262347$$
$$x_{17} = 26.2707134237$$
$$x_{18} = 60.3332900272$$
$$x_{19} = 38.2489500061$$
$$x_{20} = 8.25318352995$$
$$x_{21} = 76.2501672247$$
$$x_{22} = -57.6165205028$$
$$x_{23} = -27.7252628505$$
$$x_{24} = -39.8183913545$$
$$x_{25} = -89.7793225031$$
$$x_{26} = 100.401049922$$
$$x_{27} = -35.8317093552$$
$$x_{28} = -79.7541542712$$
$$x_{29} = -42.0815667083$$
$$x_{30} = -89.9715747795$$
$$x_{31} = 30.1151170824$$
$$x_{32} = 92.2473549679$$
$$x_{33} = -3.83509625276$$
$$x_{34} = 98.2502632286$$
$$x_{35} = -68.0419544942$$
$$x_{36} = 40.2499914193$$
$$x_{37} = 89.9017124291$$
$$x_{38} = 2.29851806762$$
$$x_{39} = 84.1809540603$$
$$x_{40} = 82.4844814961$$
$$x_{41} = -51.8781736776$$
$$x_{42} = -1.46341814038$$
$$x_{43} = 68.2494095599$$
$$x_{44} = -71.7500547682$$
$$x_{45} = 86.2273147619$$
$$x_{46} = -35.7878443422$$
$$x_{47} = -21.7573089028$$
$$x_{48} = 54.2464037187$$
$$x_{49} = -29.7477583746$$
$$x_{50} = -46.749850127$$
$$x_{51} = -69.7068420968$$
$$x_{52} = -78.0016985072$$
$$x_{53} = 34.1252234349$$
$$x_{54} = 80.2450306241$$
$$x_{55} = -99.9463087783$$
$$x_{56} = 3.83509625276$$
$$x_{57} = -85.7340469674$$
$$x_{58} = -82.7506615371$$
$$x_{59} = 66.0029469837$$
$$x_{60} = 90.2504833824$$
$$x_{61} = 89.4638367238$$
$$x_{62} = -23.7589283775$$
$$x_{63} = 69.5489229717$$
$$x_{64} = 57.7798666558$$
$$x_{65} = -42.8216079765$$
$$x_{66} = -93.7338500868$$
$$x_{67} = -62.7579252971$$
$$x_{68} = -61.7486314136$$
$$x_{69} = -19.949492901$$
$$x_{70} = -47.7472121333$$
$$x_{71} = -15.9207099383$$
$$x_{72} = -9.97652068182$$
$$x_{73} = 52.5400793919$$
$$x_{74} = -49.8082141452$$
$$x_{75} = -73.8643786902$$
$$x_{76} = -30.8367082231$$
$$x_{77} = 35.9192786763$$
$$x_{78} = -97.8176426972$$
$$x_{79} = -25.7269518192$$
$$x_{80} = 12.6182893188$$
$$x_{81} = 61.9264453205$$
$$x_{82} = 14.2549472985$$
$$x_{83} = -17.7848491141$$
$$x_{84} = 15.6219149588$$
$$x_{85} = 46.4464654523$$
$$x_{86} = -33.8014752031$$
$$x_{87} = -83.7506799702$$
$$x_{88} = 72.2518303593$$
$$x_{89} = 23.9564491444$$
$$x_{90} = 42.637801848$$
$$x_{91} = -53.7518859325$$
$$x_{92} = 22.2569458657$$
$$x_{93} = 28.063138742$$
$$x_{94} = -59.7840483723$$
$$x_{95} = -65.8122805356$$
$$x_{96} = -76.0232233111$$
$$x_{97} = 74.330757279$$
$$x_{98} = 4.22487347994$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в tan(x^2 + 1).
$$\tan{\left (0^{2} + 1 \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \tan{\left (1 \right )}$$
Точка:

(0, tan(1))

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$2 x \left(\tan^{2}{\left (x^{2} + 1 \right )} + 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, tan(1))

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках

[0, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, 0]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$2 \left(4 x^{2} \left(\tan^{2}{\left (x^{2} + 1 \right )} + 1\right) \tan{\left (x^{2} + 1 \right )} + \tan^{2}{\left (x^{2} + 1 \right )} + 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 98.2502630968$$
$$x_{2} = 24.02191947$$
$$x_{3} = 14.254904145$$
$$x_{4} = 4.22321440164$$
$$x_{5} = -5.51431819183$$
$$x_{6} = -90.041382753$$
$$x_{7} = -39.7789207925$$
$$x_{8} = -49.9656487946$$
$$x_{9} = -43.5129893029$$
$$x_{10} = -1.42068899323$$
$$x_{11} = -63.7512418093$$
$$x_{12} = -79.7541540248$$
$$x_{13} = 36.0066323488$$
$$x_{14} = -55.7599914513$$
$$x_{15} = 56.0690125356$$
$$x_{16} = 51.1463252333$$
$$x_{17} = -17.7848268933$$
$$x_{18} = -28.0071034683$$
$$x_{19} = -91.752211319$$
$$x_{20} = -65.9553316097$$
$$x_{21} = 42.0068438429$$
$$x_{22} = -21.7572967663$$
$$x_{23} = 80.2450303822$$
$$x_{24} = -71.7500544297$$
$$x_{25} = -9.97639479349$$
$$x_{26} = -15.9206789624$$
$$x_{27} = 32.2314586653$$
$$x_{28} = 60.1507661451$$
$$x_{29} = -53.7518851276$$
$$x_{30} = -46.0047098719$$
$$x_{31} = -31.5915528796$$
$$x_{32} = 2.2881150211$$
$$x_{33} = -36.3107246539$$
$$x_{34} = 46.4464642048$$
$$x_{35} = 66.0029465489$$
$$x_{36} = -78.0016982438$$
$$x_{37} = 8.25296116168$$
$$x_{38} = -97.7694554486$$
$$x_{39} = 86.2455295658$$
$$x_{40} = -73.86437838$$
$$x_{41} = -57.8613661613$$
$$x_{42} = 84.0128481674$$
$$x_{43} = -69.9318218733$$
$$x_{44} = 22.2569345283$$
$$x_{45} = 76.2501669427$$
$$x_{46} = 100.307134565$$
$$x_{47} = -96.0022542366$$
$$x_{48} = 12.2390677106$$
$$x_{49} = -61.7486308827$$
$$x_{50} = -59.836573726$$
$$x_{51} = -37.7529189511$$
$$x_{52} = 82.3510686162$$
$$x_{53} = 90.2504832124$$
$$x_{54} = 10.2864856749$$
$$x_{55} = 92.2473548087$$
$$x_{56} = 72.2518300279$$
$$x_{57} = -85.7523665449$$
$$x_{58} = 28.0071034683$$
$$x_{59} = 44.4769968117$$
$$x_{60} = -47.747210985$$
$$x_{61} = -25.7269444784$$
$$x_{62} = -87.7441938904$$
$$x_{63} = 38.2489477723$$
$$x_{64} = 16.0190394017$$
$$x_{65} = 57.9969452443$$
$$x_{66} = -51.726558434$$
$$x_{67} = 20.2619848159$$
$$x_{68} = -3.83287719973$$
$$x_{69} = 40.2499895023$$
$$x_{70} = 34.1252202894$$
$$x_{71} = -41.8194567767$$
$$x_{72} = 4.91145373377$$
$$x_{73} = 96.2473724756$$
$$x_{74} = 74.2461787683$$
$$x_{75} = 68.2724208176$$
$$x_{76} = 70.2008463108$$
$$x_{77} = -68.0188644767$$
$$x_{78} = -23.7589190572$$
$$x_{79} = 87.5291062988$$
$$x_{80} = -14.0327854548$$
$$x_{81} = 77.6585980651$$
$$x_{82} = 93.1117376869$$
$$x_{83} = -83.7506797574$$
$$x_{84} = -99.9934467421$$
$$x_{85} = 61.8503014279$$
$$x_{86} = 48.2707120485$$
$$x_{87} = -75.9405298154$$
$$x_{88} = -93.750606485$$
$$x_{89} = 51.9991459765$$
$$x_{90} = -29.7477536262$$
$$x_{91} = -12.1100433533$$
$$x_{92} = -82.2747356821$$
$$x_{93} = 54.2464029356$$
$$x_{94} = 29.9582245865$$
$$x_{95} = -33.7549687282$$
$$x_{96} = 64.339871441$$
$$x_{97} = 26.2707065293$$
$$x_{98} = 18.2210885593$$
$$x_{99} = -20.0280612244$$
$$x_{100} = -8.0603720628$$
$$x_{101} = 1.42068899323$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[100.307134565, oo)

Выпуклая на промежутках

[-1.42068899323, 1.42068899323]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \tan{\left (x^{2} + 1 \right )} = \langle -\infty, \infty\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle -\infty, \infty\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} \tan{\left (x^{2} + 1 \right )} = \langle -\infty, \infty\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle -\infty, \infty\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции tan(x^2 + 1), делённой на x при x->+oo и x ->-oo

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \tan{\left (x^{2} + 1 \right )}\right)$$

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \tan{\left (x^{2} + 1 \right )}\right)$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\tan{\left (x^{2} + 1 \right )} = \tan{\left (x^{2} + 1 \right )}$$
- Да
$$\tan{\left (x^{2} + 1 \right )} = - \tan{\left (x^{2} + 1 \right )}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной