График функции y = (tan(x))^(1/2)

Вы ввели

         ________
f(x) = \/ tan(x) 

$$f{\left (x \right )} = \sqrt{\tan{\left (x \right )}}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sqrt{\tan{\left (x \right )}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sqrt(tan(x)).
$$\sqrt{\tan{\left (0 \right )}}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{\frac{1}{2} \tan^{2}{\left (x \right )} + \frac{1}{2}}{\sqrt{\tan{\left (x \right )}}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\left(- \frac{\tan^{2}{\left (x \right )} + 1}{\tan^{\frac{3}{2}}{\left (x \right )}} + 4 \sqrt{\tan{\left (x \right )}}\right) \left(\frac{1}{4} \tan^{2}{\left (x \right )} + \frac{1}{4}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{6}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[pi/6, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, pi/6]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo

True

Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \lim_{x \to -\infty} \sqrt{\tan{\left (x \right )}}$$
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt{\tan{\left (x \right )}} = \langle -\infty, \infty\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle -\infty, \infty\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sqrt(tan(x)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \sqrt{\tan{\left (x \right )}}\right)$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \sqrt{\tan{\left (x \right )}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sqrt{\tan{\left (x \right )}} = \sqrt{- \tan{\left (x \right )}}$$
- Нет
$$\sqrt{\tan{\left (x \right )}} = - \sqrt{- \tan{\left (x \right )}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной