График функции y = tan(x^3-x)

Вы ввели

          / 3    \
f(x) = tan\x  - x/

$$f{\left (x \right )} = \tan{\left (x^{3} - x \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\tan{\left (x^{3} - x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Численное решение
$$x_{1} = -17.8871743515$$
$$x_{2} = -85.7554002353$$
$$x_{3} = -6.06260832928$$
$$x_{4} = 96.4532204673$$
$$x_{5} = 44.636746526$$
$$x_{6} = 30.2792873073$$
$$x_{7} = -15.7685001974$$
$$x_{8} = 5.15643239165$$
$$x_{9} = 4.52230736982$$
$$x_{10} = -82.0218325593$$
$$x_{11} = 74.2032611436$$
$$x_{12} = 85.9069360591$$
$$x_{13} = -47.516822415$$
$$x_{14} = 14.6393734103$$
$$x_{15} = 50.1895521222$$
$$x_{16} = 37.4358807297$$
$$x_{17} = -21.864143317$$
$$x_{18} = 56.3017817342$$
$$x_{19} = 42.2481634388$$
$$x_{20} = -4.05934845042$$
$$x_{21} = -31.7928441935$$
$$x_{22} = -35.9898078355$$
$$x_{23} = 76.0222569518$$
$$x_{24} = -53.9456546386$$
$$x_{25} = 84.1535107125$$
$$x_{26} = 7.40708691615$$
$$x_{27} = -57.7515522224$$
$$x_{28} = -68.8477320519$$
$$x_{29} = -41.7499812838$$
$$x_{30} = 52.2500284923$$
$$x_{31} = -51.7867312057$$
$$x_{32} = -9.81669827404$$
$$x_{33} = 89.0312869184$$
$$x_{34} = -37.8834347645$$
$$x_{35} = -13.8046881933$$
$$x_{36} = 20.0832029733$$
$$x_{37} = -59.8241104756$$
$$x_{38} = -25.7916767098$$
$$x_{39} = -33.6169048017$$
$$x_{40} = -68.055631832$$
$$x_{41} = 18.2499915885$$
$$x_{42} = -19.7529869629$$
$$x_{43} = -89.7671616284$$
$$x_{44} = -55.7465507344$$
$$x_{45} = 10.0091664116$$
$$x_{46} = 66.2025795457$$
$$x_{47} = 78.3688945151$$
$$x_{48} = -7.79009154004$$
$$x_{49} = -87.7946076759$$
$$x_{50} = 28.1122961381$$
$$x_{51} = 99.744129509$$
$$x_{52} = -71.7767626926$$
$$x_{53} = -77.5657464011$$
$$x_{54} = 70.2565988239$$
$$x_{55} = 23.9111236017$$
$$x_{56} = -49.7161040819$$
$$x_{57} = 26.3873410949$$
$$x_{58} = 0$$
$$x_{59} = 13.9947210443$$
$$x_{60} = -95.8593834759$$
$$x_{61} = -61.9677190453$$
$$x_{62} = -11.9764847263$$
$$x_{63} = 46.2057938954$$
$$x_{64} = 62.2722248804$$
$$x_{65} = 48.3240813277$$
$$x_{66} = 36.2387746194$$
$$x_{67} = 64.4749399862$$
$$x_{68} = -94.0661846864$$
$$x_{69} = -27.8229938865$$
$$x_{70} = -43.9811089481$$
$$x_{71} = 98.2687555399$$
$$x_{72} = -19.6503798007$$
$$x_{73} = 40.5787265442$$
$$x_{74} = -63.6695750944$$
$$x_{75} = 68.1883292497$$
$$x_{76} = -74.1137595532$$
$$x_{77} = -99.8914879503$$
$$x_{78} = -39.9946965447$$
$$x_{79} = 88.2855947132$$
$$x_{80} = 32.0263790424$$
$$x_{81} = 80.3979046827$$
$$x_{82} = -97.7521194558$$
$$x_{83} = -1.69063179704$$
$$x_{84} = -77.7960468339$$
$$x_{85} = 53.9805410507$$
$$x_{86} = -80.1469674286$$
$$x_{87} = 8.24830014406$$
$$x_{88} = -243.624834095$$
$$x_{89} = 34.163200286$$
$$x_{90} = 94.5144947273$$
$$x_{91} = -65.5344376782$$
$$x_{92} = -45.7439788867$$
$$x_{93} = -84.051647154$$
$$x_{94} = 22.2856184215$$
$$x_{95} = 58.2268106377$$
$$x_{96} = 71.4383388816$$
$$x_{97} = 72.0344055027$$
$$x_{98} = 104.336795839$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в tan(x^3 - x).
$$\tan{\left (0^{3} - 0 \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\left(3 x^{2} - 1\right) \left(\tan^{2}{\left (x^{3} - x \right )} + 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{3}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$
Зн. экстремумы в точках:

    ___      /    ___\ 
 -\/ 3       |2*\/ 3 | 
(-------, tan|-------|)
    3        \   9   / 

   ___      /    ___\ 
 \/ 3       |2*\/ 3 | 
(-----, -tan|-------|)
   3        \   9   / 

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{3}}{3}$$
Убывает на промежутках

(-oo, -sqrt(3)/3] U [sqrt(3)/3, oo)

Возрастает на промежутках

[-sqrt(3)/3, sqrt(3)/3]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$2 \left(3 x + \left(3 x^{2} - 1\right)^{2} \tan{\left (x \left(x^{2} - 1\right) \right )}\right) \left(\tan^{2}{\left (x \left(x^{2} - 1\right) \right )} + 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 88.5709906097$$
$$x_{2} = -3.99328209885$$
$$x_{3} = -11.9764842722$$
$$x_{4} = 71.5096799935$$
$$x_{5} = -97.7491602967$$
$$x_{6} = -47.7485539313$$
$$x_{7} = 42.2499237807$$
$$x_{8} = -61.9993397594$$
$$x_{9} = 5.27335258073$$
$$x_{10} = 31.9998031379$$
$$x_{11} = 11.2695638757$$
$$x_{12} = 4.94860286378$$
$$x_{13} = 53.9485335759$$
$$x_{14} = -94.0031788926$$
$$x_{15} = 62.2500712164$$
$$x_{16} = -33.7498543397$$
$$x_{17} = 64.2940503485$$
$$x_{18} = -83.9912713294$$
$$x_{19} = -51.7499960739$$
$$x_{20} = 22.2644989451$$
$$x_{21} = 1.67859948432$$
$$x_{22} = 82.2495603457$$
$$x_{23} = 52.2458082597$$
$$x_{24} = -1.67859948432$$
$$x_{25} = -82.0000336548$$
$$x_{26} = -19.9181438266$$
$$x_{27} = 59.5710886381$$
$$x_{28} = 86.2489777544$$
$$x_{29} = -29.7502088414$$
$$x_{30} = 96.012877619$$
$$x_{31} = -75.7609671033$$
$$x_{32} = -45.749984455$$
$$x_{33} = -15.4544172165$$
$$x_{34} = -74.0018645242$$
$$x_{35} = -41.7499812829$$
$$x_{36} = -49.7935267015$$
$$x_{37} = 9.99866654461$$
$$x_{38} = -67.7391826551$$
$$x_{39} = 40.087463968$$
$$x_{40} = -59.815037617$$
$$x_{41} = 67.5494457089$$
$$x_{42} = -43.9984290335$$
$$x_{43} = 28.0963796728$$
$$x_{44} = -87.7743589288$$
$$x_{45} = -77.762116902$$
$$x_{46} = -95.8346464819$$
$$x_{47} = 18.2499915335$$
$$x_{48} = 0$$
$$x_{49} = 72.0862374125$$
$$x_{50} = -57.7496680955$$
$$x_{51} = 58.2474999375$$
$$x_{52} = 26.2937187373$$
$$x_{53} = -18.126411053$$
$$x_{54} = 30.0095211191$$
$$x_{55} = -31.9864986124$$
$$x_{56} = 36.2491406117$$
$$x_{57} = -71.8966990709$$
$$x_{58} = 99.9808261895$$
$$x_{59} = -85.7501309252$$
$$x_{60} = -92.5886619909$$
$$x_{61} = -65.72118197$$
$$x_{62} = -9.77288340193$$
$$x_{63} = 35.2854907058$$
$$x_{64} = 84.2682556515$$
$$x_{65} = 38.259213635$$
$$x_{66} = 78.7052407239$$
$$x_{67} = -25.9606690322$$
$$x_{68} = -55.7499206026$$
$$x_{69} = -21.7251567469$$
$$x_{70} = 98.2499908351$$
$$x_{71} = -27.7469991914$$
$$x_{72} = 56.2518482088$$
$$x_{73} = -7.75522801071$$
$$x_{74} = 66.397468476$$
$$x_{75} = 48.2499650319$$
$$x_{76} = 70.0685376789$$
$$x_{77} = 23.9750952888$$
$$x_{78} = -39.9979703182$$
$$x_{79} = -35.9493278768$$
$$x_{80} = 49.9983995004$$
$$x_{81} = -54.0777689794$$
$$x_{82} = 46.2709481602$$
$$x_{83} = -31.6429012164$$
$$x_{84} = -5.76009347807$$
$$x_{85} = 16.2551595778$$
$$x_{86} = 8.24829719057$$
$$x_{87} = -69.9999980189$$
$$x_{88} = -13.8101904997$$
$$x_{89} = 43.9924767924$$
$$x_{90} = -79.3007229307$$
$$x_{91} = -98.8023342981$$
$$x_{92} = 74.2485009892$$
$$x_{93} = 80.1472934943$$
$$x_{94} = 32.0243363051$$
$$x_{95} = 14.0000747766$$
$$x_{96} = -37.8359352745$$
$$x_{97} = -63.5544032465$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[99.9808261895, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, -98.8023342981]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo

True

Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \lim_{x \to -\infty} \tan{\left (x^{3} - x \right )}$$

True

Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \lim_{x \to \infty} \tan{\left (x^{3} - x \right )}$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции tan(x^3 - x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \tan{\left (x^{3} - x \right )}\right)$$

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \tan{\left (x^{3} - x \right )}\right)$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\tan{\left (x^{3} - x \right )} = - \tan{\left (x^{3} - x \right )}$$
- Нет
$$\tan{\left (x^{3} - x \right )} = - -1 \tan{\left (x^{3} - x \right )}$$
- Да
значит, функция
является
нечётной