График функции y = 3-4*sin(x)

Вы ввели

f(x) = 3 - 4*sin(x)

$$f{\left(x \right)} = 3 - 4 \sin{\left(x \right)}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$3 - 4 \sin{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \pi - \operatorname{asin}{\left(\frac{3}{4} \right)}$$
$$x_{2} = \operatorname{asin}{\left(\frac{3}{4} \right)}$$
Численное решение
$$x_{1} = -30.5678644569164$$
$$x_{2} = 8.5767158817879$$
$$x_{3} = -87.1165322215327$$
$$x_{4} = -73.1046931115467$$
$$x_{5} = 83.9749395679429$$
$$x_{6} = 77.6917542607633$$
$$x_{7} = 90.2581248751225$$
$$x_{8} = 39.9926424176858$$
$$x_{9} = -124.81564406461$$
$$x_{10} = -3.98965473257127$$
$$x_{11} = 13.4144326933407$$
$$x_{12} = -79.3878784187263$$
$$x_{13} = 164.210880065651$$
$$x_{14} = 65.1253836464042$$
$$x_{15} = -61.9837909928144$$
$$x_{16} = 46.2758277248654$$
$$x_{17} = -2279.94820442721$$
$$x_{18} = -41.6887665756488$$
$$x_{19} = -36.851049764096$$
$$x_{20} = 19.6976180005202$$
$$x_{21} = 101.379026993855$$
$$x_{22} = -43.1342350712756$$
$$x_{23} = 14.8599011889675$$
$$x_{24} = -55.7006056856348$$
$$x_{25} = -49.4174203784552$$
$$x_{26} = -85.6710637259059$$
$$x_{27} = 7.13124738616107$$
$$x_{28} = 33.7094571105062$$
$$x_{29} = 272.470498783331$$
$$x_{30} = -93.3997175287123$$
$$x_{31} = -16.5560253469304$$
$$x_{32} = -66.8215078043671$$
$$x_{33} = -54.255137190008$$
$$x_{34} = 88.8126563794957$$
$$x_{35} = 21.1430864961471$$
$$x_{36} = 27.4262718033267$$
$$x_{37} = 58.8421983392246$$
$$x_{38} = -68.266976299994$$
$$x_{39} = 95.0958416866753$$
$$x_{40} = -10.2728400397509$$
$$x_{41} = -98.2374343402651$$
$$x_{42} = -47.9719518828284$$
$$x_{43} = -148.502916797702$$
$$x_{44} = 82.5294710723161$$
$$x_{45} = -29.1223959612896$$
$$x_{46} = -99.6829028358919$$
$$x_{47} = -74.5501616071735$$
$$x_{48} = 38.547173922059$$
$$x_{49} = -1606.20190806337$$
$$x_{50} = 25.9808033076998$$
$$x_{51} = -35.4055812684692$$
$$x_{52} = -462.662182156681$$
$$x_{53} = -60.5383224971876$$
$$x_{54} = -3792.75039496186$$
$$x_{55} = -11.7183085353777$$
$$x_{56} = -18.0014938425573$$
$$x_{57} = -22.83921065411$$
$$x_{58} = -5.43512322819811$$
$$x_{59} = 96.5413101823021$$
$$x_{60} = 71.4085689535838$$
$$x_{61} = 69.9631004579569$$
$$x_{62} = 2.29353057460831$$
$$x_{63} = 51.1135445364182$$
$$x_{64} = 0.848062078981481$$
$$x_{65} = -80.8333469143531$$
$$x_{66} = 63.6799151507773$$
$$x_{67} = 57.3967298435978$$
$$x_{68} = -24.2846791497369$$
$$x_{69} = 17010.8761571097$$
$$x_{70} = 44.8303592292386$$
$$x_{71} = -91.9542490330855$$
$$x_{72} = 76.2462857651365$$
$$x_{73} = 7202.82389260241$$
$$x_{74} = 52.559013032045$$
$$x_{75} = 32.2639886148794$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 3 - 4*sin(x).
$$3 - 4 \sin{\left(0 \right)}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 3$$
Точка:

(0, 3)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- 4 \cos{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:

 pi     
(--, -1)
 2      

 3*pi    
(----, 7)
  2      

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{3 \pi}{2}$$
Убывает на промежутках
$$\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{2}, \infty\right)$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$4 \sin{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[0, \pi\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\pi, \infty\right)$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(3 - 4 \sin{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 7\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -1, 7\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(3 - 4 \sin{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 7\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -1, 7\right\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 3 - 4*sin(x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3 - 4 \sin{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 - 4 \sin{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$3 - 4 \sin{\left(x \right)} = 4 \sin{\left(x \right)} + 3$$
- Нет
$$3 - 4 \sin{\left(x \right)} = - 4 \sin{\left(x \right)} - 3$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График