График функции y = 3-cos(x)/2

Вы ввели

           cos(x)
f(x) = 3 - ------
             2   

$$f{\left (x \right )} = - \frac{1}{2} \cos{\left (x \right )} + 3$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$- \frac{1}{2} \cos{\left (x \right )} + 3 = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 3 - cos(x)/2.
$$- \frac{1}{2} \cos{\left (0 \right )} + 3$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \frac{5}{2}$$
Точка:

(0, 5/2)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{1}{2} \sin{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 5/2)

(pi, 7/2)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = 0$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = \pi$$
Убывает на промежутках

[0, pi]

Возрастает на промежутках

(-oo, 0] U [pi, oo)

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{2} \cos{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

(-oo, pi/2] U [3*pi/2, oo)

Выпуклая на промежутках

[pi/2, 3*pi/2]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{1}{2} \cos{\left (x \right )} + 3\right) = \langle \frac{5}{2}, \frac{7}{2}\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle \frac{5}{2}, \frac{7}{2}\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{1}{2} \cos{\left (x \right )} + 3\right) = \langle \frac{5}{2}, \frac{7}{2}\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle \frac{5}{2}, \frac{7}{2}\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 3 - cos(x)/2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(- \frac{1}{2} \cos{\left (x \right )} + 3\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(- \frac{1}{2} \cos{\left (x \right )} + 3\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$- \frac{1}{2} \cos{\left (x \right )} + 3 = - \frac{1}{2} \cos{\left (x \right )} + 3$$
- Да
$$- \frac{1}{2} \cos{\left (x \right )} + 3 = - \frac{1}{2} \left(-1 \cos{\left (x \right )}\right) - 3$$
- Нет
значит, функция
является
чётной