График функции y = 3-sin(p)

Вы ввели

f(p) = 3 - sin(p)

$$f{\left (p \right )} = - \sin{\left (p \right )} + 3$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось P при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$- \sin{\left (p \right )} + 3 = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось P

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда p равняется 0:
подставляем p = 0 в 3 - sin(p).
$$- \sin{\left (0 \right )} + 3$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 3$$
Точка:

(0, 3)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d p} f{\left (p \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d p} f{\left (p \right )} = $$
Первая производная
$$- \cos{\left (p \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$p_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$p_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:

 pi    
(--, 2)
 2     

 3*pi    
(----, 4)
  2      

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$p_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Максимумы функции в точках:
$$p_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Убывает на промежутках

[pi/2, 3*pi/2]

Возрастает на промежутках

(-oo, pi/2] U [3*pi/2, oo)

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d p^{2}} f{\left (p \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d p^{2}} f{\left (p \right )} = $$
Вторая производная
$$\sin{\left (p \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$p_{1} = 0$$
$$p_{2} = \pi$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[0, pi]

Выпуклая на промежутках

(-oo, 0] U [pi, oo)

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при p->+oo и p->-oo
$$\lim_{p \to -\infty}\left(- \sin{\left (p \right )} + 3\right) = \langle 2, 4\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle 2, 4\rangle$$
$$\lim_{p \to \infty}\left(- \sin{\left (p \right )} + 3\right) = \langle 2, 4\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle 2, 4\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 3 - sin(p), делённой на p при p->+oo и p ->-oo
$$\lim_{p \to -\infty}\left(\frac{1}{p} \left(- \sin{\left (p \right )} + 3\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{p \to \infty}\left(\frac{1}{p} \left(- \sin{\left (p \right )} + 3\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-p) и f = -f(-p).
Итак, проверяем:
$$- \sin{\left (p \right )} + 3 = \sin{\left (p \right )} + 3$$
- Нет
$$- \sin{\left (p \right )} + 3 = - \sin{\left (p \right )} - 3$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной