График функции y = 3-x+(4/x)

Вы ввели

               4
f(x) = 3 - x + -
               x

$$f{\left (x \right )} = - x + 3 + \frac{4}{x}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$- x + 3 + \frac{4}{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 4$$
Численное решение
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = -1$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 3 - x + 4/x.
$$\frac{4}{0} + - 0 + 3$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \tilde{\infty}$$
зн.f не пересекает Y

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =$$
Первая производная
$$-1 - \frac{4}{x^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =$$
Вторая производная
$$\frac{8}{x^{3}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = 0$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- x + 3 + \frac{4}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + 3 + \frac{4}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 3 - x + 4/x, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(- x + 3 + \frac{4}{x}\right)\right) = -1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = - x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(- x + 3 + \frac{4}{x}\right)\right) = -1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = - x$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$- x + 3 + \frac{4}{x} = x + 3 - \frac{4}{x}$$
- Нет
$$- x + 3 + \frac{4}{x} = - x - 3 - - \frac{4}{x}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной