График функции y = (3-x^2)^2

Вы ввели

               2
       /     2\ 
f(x) = \3 - x / 

$$f{\left (x \right )} = \left(- x^{2} + 3\right)^{2}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\left(- x^{2} + 3\right)^{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - \sqrt{3}$$
$$x_{2} = \sqrt{3}$$
Численное решение
$$x_{1} = 1.73205080757$$
$$x_{2} = -1.73205080757$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (3 - x^2)^2.
$$\left(- 0 + 3\right)^{2}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 9$$
Точка:

(0, 9)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- 4 x \left(- x^{2} + 3\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \sqrt{3}$$
$$x_{3} = \sqrt{3}$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 9)

    ___    
(-\/ 3, 0)

   ___    
(\/ 3, 0)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{3} = - \sqrt{3}$$
$$x_{3} = \sqrt{3}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{3} = 0$$
Убывает на промежутках

[-sqrt(3), 0] U [sqrt(3), oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, -sqrt(3)] U [0, sqrt(3)]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$12 \left(x^{2} - 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

(-oo, -1] U [1, oo)

Выпуклая на промежутках

[-1, 1]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \left(- x^{2} + 3\right)^{2} = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty} \left(- x^{2} + 3\right)^{2} = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (3 - x^2)^2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(- x^{2} + 3\right)^{2}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(- x^{2} + 3\right)^{2}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\left(- x^{2} + 3\right)^{2} = \left(- x^{2} + 3\right)^{2}$$
- Да
$$\left(- x^{2} + 3\right)^{2} = - \left(- x^{2} + 3\right)^{2}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной