График функции y = 3*cos(3*x)

Вы ввели

f(x) = 3*cos(3*x)

$$f{\left (x \right )} = 3 \cos{\left (3 x \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$3 \cos{\left (3 x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = -3.66519142919$$
$$x_{2} = -100.007366139$$
$$x_{3} = -95.8185759345$$
$$x_{4} = 71.733032257$$
$$x_{5} = -36.1283155163$$
$$x_{6} = 41.3643032723$$
$$x_{7} = 88.4881930761$$
$$x_{8} = -69.6386371546$$
$$x_{9} = -5.75958653158$$
$$x_{10} = -21.4675497995$$
$$x_{11} = -60.2138591938$$
$$x_{12} = -43.4586983747$$
$$x_{13} = 36.1283155163$$
$$x_{14} = -71.733032257$$
$$x_{15} = 80.1106126665$$
$$x_{16} = 34.0339204139$$
$$x_{17} = 51.8362787842$$
$$x_{18} = -12.0427718388$$
$$x_{19} = 14.1371669412$$
$$x_{20} = 31.9395253115$$
$$x_{21} = 18.3259571459$$
$$x_{22} = -47.6474885794$$
$$x_{23} = 0.523598775598$$
$$x_{24} = -7.85398163397$$
$$x_{25} = -23.5619449019$$
$$x_{26} = 29.8451302091$$
$$x_{27} = 42.4115008235$$
$$x_{28} = -31.9395253115$$
$$x_{29} = -25.6563400043$$
$$x_{30} = -75.9218224618$$
$$x_{31} = -62.3082542962$$
$$x_{32} = -27.7507351067$$
$$x_{33} = 62.3082542962$$
$$x_{34} = 22.5147473507$$
$$x_{35} = -80.1106126665$$
$$x_{36} = -58.1194640914$$
$$x_{37} = 49.7418836818$$
$$x_{38} = 5.75958653158$$
$$x_{39} = 64.4026493986$$
$$x_{40} = 26.7035375555$$
$$x_{41} = 86.3937979737$$
$$x_{42} = 66.497044501$$
$$x_{43} = 97.9129710369$$
$$x_{44} = 75.9218224618$$
$$x_{45} = -16.2315620435$$
$$x_{46} = 12.0427718388$$
$$x_{47} = -67.5442420522$$
$$x_{48} = -34.0339204139$$
$$x_{49} = -97.9129710369$$
$$x_{50} = 78.0162175641$$
$$x_{51} = -1.57079632679$$
$$x_{52} = -91.6297857297$$
$$x_{53} = 16.2315620435$$
$$x_{54} = 100.007366139$$
$$x_{55} = 84.2994028713$$
$$x_{56} = -49.7418836818$$
$$x_{57} = -93.7241808321$$
$$x_{58} = 9.94837673637$$
$$x_{59} = -45.5530934771$$
$$x_{60} = 4.71238898038$$
$$x_{61} = 7.85398163397$$
$$x_{62} = 68.5914396034$$
$$x_{63} = -73.8274273594$$
$$x_{64} = -14.1371669412$$
$$x_{65} = -65.4498469498$$
$$x_{66} = -98.9601685881$$
$$x_{67} = -56.025068989$$
$$x_{68} = 56.025068989$$
$$x_{69} = -82.2050077689$$
$$x_{70} = -61.261056745$$
$$x_{71} = 91.6297857297$$
$$x_{72} = 82.2050077689$$
$$x_{73} = 20.4203522483$$
$$x_{74} = -29.8451302091$$
$$x_{75} = 44.5058959259$$
$$x_{76} = -78.0162175641$$
$$x_{77} = -38.2227106187$$
$$x_{78} = -9.94837673637$$
$$x_{79} = -89.5353906273$$
$$x_{80} = 38.2227106187$$
$$x_{81} = 58.1194640914$$
$$x_{82} = 95.8185759345$$
$$x_{83} = 40.3171057211$$
$$x_{84} = 73.8274273594$$
$$x_{85} = -84.2994028713$$
$$x_{86} = -53.9306738866$$
$$x_{87} = 93.7241808321$$
$$x_{88} = 15.1843644924$$
$$x_{89} = -51.8362787842$$
$$x_{90} = 53.9306738866$$
$$x_{91} = 119.904119612$$
$$x_{92} = 87.4409955249$$
$$x_{93} = 27.7507351067$$
$$x_{94} = 60.2138591938$$
$$x_{95} = -19.3731546971$$
$$x_{96} = 1.57079632679$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 3*cos(3*x).
$$3 \cos{\left (0 \cdot 3 \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 3$$
Точка:

(0, 3)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- 9 \sin{\left (3 x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{3}$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 3)

 pi     
(--, -3)
 3      

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{\pi}{3}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 0$$
Убывает на промежутках

(-oo, 0] U [pi/3, oo)

Возрастает на промежутках

[0, pi/3]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$- 27 \cos{\left (3 x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[pi/6, pi/2]

Выпуклая на промежутках

(-oo, pi/6] U [pi/2, oo)

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(3 \cos{\left (3 x \right )}\right) = \langle -3, 3\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle -3, 3\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(3 \cos{\left (3 x \right )}\right) = \langle -3, 3\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle -3, 3\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 3*cos(3*x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3}{x} \cos{\left (3 x \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3}{x} \cos{\left (3 x \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$3 \cos{\left (3 x \right )} = 3 \cos{\left (3 x \right )}$$
- Да
$$3 \cos{\left (3 x \right )} = - 3 \cos{\left (3 x \right )}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной