График функции y = 3*(|x+7|)-x^2-13*x-42

Вы ввели

                    2            
f(x) = 3*|x + 7| - x  - 13*x - 42

$$f{\left(x \right)} = - x^{2} - 13 x + 3 \left|{x + 7}\right| - 42$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$- x^{2} - 13 x + 3 \left|{x + 7}\right| - 42 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = -9$$
$$x_{2} = -7$$
$$x_{3} = -3$$
Численное решение
$$x_{1} = -9$$
$$x_{2} = -7$$
$$x_{3} = -3$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 3*|x + 7| - x^2 - 13*x - 1*42.
$$\left(-1\right) 42 - 0^{2} - 13 \cdot 0 + 3 \left|{0 + 7}\right|$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = -21$$
Точка:

(0, -21)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =$$
первая производная
$$- 2 x + 3 \operatorname{sign}{\left(x + 7 \right)} - 13 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -5$$
Зн. экстремумы в точках:

(-5, 46 - 42)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = -5$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, -5\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left[-5, \infty\right)$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =$$
вторая производная
$$2 \cdot \left(3 \delta\left(x + 7\right) - 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- x^{2} - 13 x + 3 \left|{x + 7}\right| - 42\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x^{2} - 13 x + 3 \left|{x + 7}\right| - 42\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 3*|x + 7| - x^2 - 13*x - 1*42, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- x^{2} - 13 x + 3 \left|{x + 7}\right| - 42}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} - 13 x + 3 \left|{x + 7}\right| - 42}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$- x^{2} - 13 x + 3 \left|{x + 7}\right| - 42 = - x^{2} + 13 x + 3 \left|{x - 7}\right| - 42$$
- Нет
$$- x^{2} - 13 x + 3 \left|{x + 7}\right| - 42 = x^{2} - 13 x - 3 \left|{x - 7}\right| + 42$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График