График функции y = 3*sin(x)-1

Вы ввели

f(x) = 3*sin(x) - 1

$$f{\left (x \right )} = 3 \sin{\left (x \right )} - 1$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$3 \sin{\left (x \right )} - 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )} + \pi$$
$$x_{2} = \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )}$$
Численное решение
$$x_{1} = -93.9079426982$$
$$x_{2} = -34.8973560989$$
$$x_{3} = -16.0478001774$$
$$x_{4} = 90.7663500446$$
$$x_{5} = 59.3504235088$$
$$x_{6} = -24.7929043193$$
$$x_{7} = -60.0300973277$$
$$x_{8} = 69.4548752884$$
$$x_{9} = -9.76461487022$$
$$x_{10} = -56.2088308552$$
$$x_{11} = -43.6424602408$$
$$x_{12} = 100.870801824$$
$$x_{13} = 172.447759038$$
$$x_{14} = 27.9344969729$$
$$x_{15} = 40.5008675872$$
$$x_{16} = -87.6247573911$$
$$x_{17} = -78.8796532492$$
$$x_{18} = 34.21768228$$
$$x_{19} = 46.7840528944$$
$$x_{20} = 78.1999794303$$
$$x_{21} = 44.3221340597$$
$$x_{22} = 71.9167941231$$
$$x_{23} = 31.7557634454$$
$$x_{24} = 9.08494105132$$
$$x_{25} = 88.30443121$$
$$x_{26} = 97.0495353518$$
$$x_{27} = 6.62302221663$$
$$x_{28} = 15.3681263585$$
$$x_{29} = 19.189392831$$
$$x_{30} = -68.7752014695$$
$$x_{31} = -31.0760896264$$
$$x_{32} = 12.9062075238$$
$$x_{33} = -97.7292091707$$
$$x_{34} = -12.2265337049$$
$$x_{35} = 50.6053193669$$
$$x_{36} = -28.6141707918$$
$$x_{37} = 0.339836909454$$
$$x_{38} = -91.4460238636$$
$$x_{39} = 2.80175574414$$
$$x_{40} = -47.4637267133$$
$$x_{41} = -85.1628385564$$
$$x_{42} = 75.7380605956$$
$$x_{43} = -81.3415720839$$
$$x_{44} = 21.6513116657$$
$$x_{45} = 63.1716899812$$
$$x_{46} = -53.7469120205$$
$$x_{47} = 38.0389487525$$
$$x_{48} = -3.48142956304$$
$$x_{49} = -116.578765092$$
$$x_{50} = -62.4920161623$$
$$x_{51} = -22.3309854846$$
$$x_{52} = 53.0672382016$$
$$x_{53} = 84.4831647375$$
$$x_{54} = 94.5876165171$$
$$x_{55} = -37.3592749336$$
$$x_{56} = -49.925645548$$
$$x_{57} = 56.8885046741$$
$$x_{58} = -100.191128005$$
$$x_{59} = -75.0583867767$$
$$x_{60} = -72.596467942$$
$$x_{61} = 82.0212459028$$
$$x_{62} = -18.5097190121$$
$$x_{63} = -41.1805414061$$
$$x_{64} = -66.3132826348$$
$$x_{65} = -5.94334839773$$
$$x_{66} = 65.6336088159$$
$$x_{67} = 25.4725781382$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 3*sin(x) - 1.
$$-1 + 3 \sin{\left (0 \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = -1$$
Точка:

(0, -1)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$3 \cos{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:

 pi    
(--, 2)
 2     

 3*pi     
(----, -4)
  2       

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Убывает на промежутках

(-oo, pi/2] U [3*pi/2, oo)

Возрастает на промежутках

[pi/2, 3*pi/2]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$- 3 \sin{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

(-oo, 0] U [pi, oo)

Выпуклая на промежутках

[0, pi]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(3 \sin{\left (x \right )} - 1\right) = \langle -4, 2\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle -4, 2\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(3 \sin{\left (x \right )} - 1\right) = \langle -4, 2\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle -4, 2\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 3*sin(x) - 1, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(3 \sin{\left (x \right )} - 1\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(3 \sin{\left (x \right )} - 1\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$3 \sin{\left (x \right )} - 1 = - 3 \sin{\left (x \right )} - 1$$
- Нет
$$3 \sin{\left (x \right )} - 1 = - -1 \cdot 3 \sin{\left (x \right )} + 1$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной