График функции y = 3*sin(x)+2

Вы ввели

f(x) = 3*sin(x) + 2

$$f{\left (x \right )} = 3 \sin{\left (x \right )} + 2$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$3 \sin{\left (x \right )} + 2 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \operatorname{asin}{\left (\frac{2}{3} \right )} + \pi$$
$$x_{2} = - \operatorname{asin}{\left (\frac{2}{3} \right )}$$
Численное решение
$$x_{1} = -19.5792835778$$
$$x_{2} = -88.6943219567$$
$$x_{3} = -94.9775072639$$
$$x_{4} = -46.3941621476$$
$$x_{5} = -82.4111366496$$
$$x_{6} = -44.7120248065$$
$$x_{7} = 99.8012372586$$
$$x_{8} = -76.1279513424$$
$$x_{9} = -1755.4205657$$
$$x_{10} = 74.6684960299$$
$$x_{11} = 29.0040615385$$
$$x_{12} = 98.1190999175$$
$$x_{13} = -7.01291296341$$
$$x_{14} = -71.5269033763$$
$$x_{15} = -25.8624688849$$
$$x_{16} = -1979.93309942$$
$$x_{17} = -65.2437180692$$
$$x_{18} = -32.1456541921$$
$$x_{19} = -52.6773474548$$
$$x_{20} = -14.9782356117$$
$$x_{21} = 35.2872468457$$
$$x_{22} = 3.87132030982$$
$$x_{23} = -107.543877878$$
$$x_{24} = -13.2960982706$$
$$x_{25} = 93.5180519515$$
$$x_{26} = -836.393373511$$
$$x_{27} = -77.8100886835$$
$$x_{28} = -2.41186499736$$
$$x_{29} = 16.4376909242$$
$$x_{30} = 91.8359146103$$
$$x_{31} = 47.8536174601$$
$$x_{32} = -69.8447660352$$
$$x_{33} = -302.322622401$$
$$x_{34} = 54.1368027673$$
$$x_{35} = 85.5527293032$$
$$x_{36} = -90.3764592979$$
$$x_{37} = 18.1198282653$$
$$x_{38} = 55.8189401084$$
$$x_{39} = 22.7208762314$$
$$x_{40} = 10.154505617$$
$$x_{41} = -207039.650922$$
$$x_{42} = 43.252569494$$
$$x_{43} = 36.9693841869$$
$$x_{44} = -50.9952101137$$
$$x_{45} = -8.69505030454$$
$$x_{46} = -38.4288394993$$
$$x_{47} = 79.269543996$$
$$x_{48} = -63.561580728$$
$$x_{49} = 1972.1904588$$
$$x_{50} = -96.6596446051$$
$$x_{51} = -58.960532762$$
$$x_{52} = -40.1109768404$$
$$x_{53} = 11.8366429581$$
$$x_{54} = 60.4199880744$$
$$x_{55} = 5.55345765095$$
$$x_{56} = 24.4030135725$$
$$x_{57} = 49.5357548012$$
$$x_{58} = 68.3853107227$$
$$x_{59} = -101.260692571$$
$$x_{60} = 66.7031733816$$
$$x_{61} = 80.9516813371$$
$$x_{62} = 72.9863586888$$
$$x_{63} = -0.729727656227$$
$$x_{64} = -57.2783954208$$
$$x_{65} = -21.2614209189$$
$$x_{66} = 30.6861988797$$
$$x_{67} = -33.8277915333$$
$$x_{68} = 1216.5260846$$
$$x_{69} = 87.2348666443$$
$$x_{70} = 412.278365276$$
$$x_{71} = 41.5704321529$$
$$x_{72} = 62.1021254156$$
$$x_{73} = -27.5446062261$$
$$x_{74} = 175.199460945$$
$$x_{75} = -84.0932739907$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 3*sin(x) + 2.
$$3 \sin{\left (0 \right )} + 2$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 2$$
Точка:

(0, 2)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$3 \cos{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:

 pi    
(--, 5)
 2     

 3*pi     
(----, -1)
  2       

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Убывает на промежутках

(-oo, pi/2] U [3*pi/2, oo)

Возрастает на промежутках

[pi/2, 3*pi/2]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$- 3 \sin{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

(-oo, 0] U [pi, oo)

Выпуклая на промежутках

[0, pi]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(3 \sin{\left (x \right )} + 2\right) = \langle -1, 5\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle -1, 5\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(3 \sin{\left (x \right )} + 2\right) = \langle -1, 5\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle -1, 5\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 3*sin(x) + 2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(3 \sin{\left (x \right )} + 2\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(3 \sin{\left (x \right )} + 2\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$3 \sin{\left (x \right )} + 2 = - 3 \sin{\left (x \right )} + 2$$
- Нет
$$3 \sin{\left (x \right )} + 2 = - -1 \cdot 3 \sin{\left (x \right )} - 2$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной