График функции y = 3*sin(x)+1

Вы ввели

f(x) = 3*sin(x) + 1

$$f{\left(x \right)} = 3 \sin{\left(x \right)} + 1$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$3 \sin{\left(x \right)} + 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)} + \pi$$
$$x_{2} = - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)}$$
Численное решение
$$x_{1} = 81.3415720838805$$
$$x_{2} = -94.5876165171479$$
$$x_{3} = -38.0389487525316$$
$$x_{4} = 93.9079426982397$$
$$x_{5} = -34.2176822800336$$
$$x_{6} = -65.6336088159315$$
$$x_{7} = -50.6053193668908$$
$$x_{8} = -63.17168998125$$
$$x_{9} = 47.463726713301$$
$$x_{10} = -19.1893928309929$$
$$x_{11} = 49.9256455479826$$
$$x_{12} = -75.7380605956092$$
$$x_{13} = -97.0495353518295$$
$$x_{14} = -40.5008675872132$$
$$x_{15} = 87.6247573910601$$
$$x_{16} = -59.350423508752$$
$$x_{17} = 100.191128005419$$
$$x_{18} = 56.2088308551622$$
$$x_{19} = 60.0300973276602$$
$$x_{20} = 78.879653249199$$
$$x_{21} = 62.4920161623417$$
$$x_{22} = 37.3592749336234$$
$$x_{23} = -82.0212459027887$$
$$x_{24} = -90.7663500446499$$
$$x_{25} = -100.870801824328$$
$$x_{26} = 72.5964679420194$$
$$x_{27} = -6.62302221663371$$
$$x_{28} = -31.7557634453521$$
$$x_{29} = 75.0583867767009$$
$$x_{30} = -71.9167941231111$$
$$x_{31} = 3386.29704366034$$
$$x_{32} = -358.481399418691$$
$$x_{33} = 301.253057835166$$
$$x_{34} = 28.6141707917623$$
$$x_{35} = 9.7646148702235$$
$$x_{36} = 345.235354985423$$
$$x_{37} = 53.7469120204806$$
$$x_{38} = -9.08494105131526$$
$$x_{39} = -84.4831647374703$$
$$x_{40} = -44.3221340597112$$
$$x_{41} = -78.1999794302907$$
$$x_{42} = -46.7840528943928$$
$$x_{43} = 91.4460238635581$$
$$x_{44} = 43.642460240803$$
$$x_{45} = 18.5097190120846$$
$$x_{46} = -15.3681263584948$$
$$x_{47} = -21.6513116656744$$
$$x_{48} = 144.173425155676$$
$$x_{49} = 85.1628385563785$$
$$x_{50} = -0.339836909454122$$
$$x_{51} = -53.0672382015724$$
$$x_{52} = 12.2265337049051$$
$$x_{53} = -25.4725781381725$$
$$x_{54} = 34.8973560989418$$
$$x_{55} = 68.7752014695213$$
$$x_{56} = -2.80175574413567$$
$$x_{57} = 5.94334839772546$$
$$x_{58} = -12.9062075238133$$
$$x_{59} = 66.3132826348398$$
$$x_{60} = -88.3044312099683$$
$$x_{61} = 3.48142956304392$$
$$x_{62} = 97.7292091707377$$
$$x_{63} = -56.8885046740704$$
$$x_{64} = 31.0760896264438$$
$$x_{65} = 41.1805414061214$$
$$x_{66} = -27.934496972854$$
$$x_{67} = 24.7929043192642$$
$$x_{68} = -69.4548752884296$$
$$x_{69} = 22.3309854845827$$
$$x_{70} = 16.0478001774031$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 3*sin(x) + 1.
$$3 \sin{\left(0 \right)} + 1$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 1$$
Точка:

(0, 1)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$3 \cos{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:

 pi    
(--, 4)
 2     

 3*pi     
(----, -2)
  2       

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{3 \pi}{2}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{2}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- 3 \sin{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\pi, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[0, \pi\right]$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(3 \sin{\left(x \right)} + 1\right) = \left\langle -2, 4\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -2, 4\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(3 \sin{\left(x \right)} + 1\right) = \left\langle -2, 4\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -2, 4\right\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 3*sin(x) + 1, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3 \sin{\left(x \right)} + 1}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 \sin{\left(x \right)} + 1}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$3 \sin{\left(x \right)} + 1 = 1 - 3 \sin{\left(x \right)}$$
- Нет
$$3 \sin{\left(x \right)} + 1 = 3 \sin{\left(x \right)} - 1$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График