График функции y = 3*y-y^2

Вы ввели

              2
f(y) = 3*y - y 

$$f{\left (y \right )} = - y^{2} + 3 y$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось Y при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$- y^{2} + 3 y = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью Y:

Аналитическое решение
$$y_{1} = 0$$
$$y_{2} = 3$$
Численное решение
$$y_{1} = 0$$
$$y_{2} = 3$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда y равняется 0:
подставляем y = 0 в 3*y - y^2.
$$0 \cdot 3 - 0$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d y} f{\left (y \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d y} f{\left (y \right )} = $$
Первая производная
$$- 2 y + 3 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$y_{1} = \frac{3}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:

(3/2, 9/4)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$y_{1} = \frac{3}{2}$$
Убывает на промежутках

(-oo, 3/2]

Возрастает на промежутках

[3/2, oo)

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d y^{2}} f{\left (y \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d y^{2}} f{\left (y \right )} = $$
Вторая производная
$$-2 = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при y->+oo и y->-oo
$$\lim_{y \to -\infty}\left(- y^{2} + 3 y\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{y \to \infty}\left(- y^{2} + 3 y\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 3*y - y^2, делённой на y при y->+oo и y ->-oo
$$\lim_{y \to -\infty}\left(\frac{1}{y} \left(- y^{2} + 3 y\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{y \to \infty}\left(\frac{1}{y} \left(- y^{2} + 3 y\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-y) и f = -f(-y).
Итак, проверяем:
$$- y^{2} + 3 y = - y^{2} - 3 y$$
- Нет
$$- y^{2} + 3 y = - -1 y^{2} - - 3 y$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной