График функции y = 3*x-e^x

Вы ввели

              x
f(x) = 3*x - E 

$$f{\left (x \right )} = - e^{x} + 3 x$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$- e^{x} + 3 x = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - \operatorname{LambertW}{\left (- \frac{1}{3} \right )}$$
$$x_{2} = - \operatorname{LambertW}{\left (- \frac{1}{3},-1 \right )}$$
Численное решение
$$x_{1} = 1.51213455166$$
$$x_{2} = 0.619061286736$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 3*x - E^x.
$$- 1 + 0 \cdot 3$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = -1$$
Точка:

(0, -1)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- e^{x} + 3 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \log{\left (3 \right )}$$
Зн. экстремумы в точках:

(log(3), -3 + 3*log(3))

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = \log{\left (3 \right )}$$
Убывает на промежутках

(-oo, log(3)]

Возрастает на промежутках

[log(3), oo)

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$- e^{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- e^{x} + 3 x\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(- e^{x} + 3 x\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 3*x - E^x, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(- e^{x} + 3 x\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(- e^{x} + 3 x\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$- e^{x} + 3 x = - 3 x - e^{- x}$$
- Нет
$$- e^{x} + 3 x = - -1 \cdot 3 x - - e^{- x}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной