График функции y = 3*x-log(x+1)

Вы ввели

f(x) = 3*x - log(x + 1)

$$f{\left (x \right )} = 3 x - \log{\left (x + 1 \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$3 x - \log{\left (x + 1 \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = -1 - \frac{1}{3} \operatorname{LambertW}{\left (- \frac{3}{e^{3}} \right )}$$
$$x_{2} = -1 - \frac{1}{3} \operatorname{LambertW}{\left (- \frac{3}{e^{3}},-1 \right )}$$
Численное решение
$$x_{1} = -0.94047979070736$$
$$x_{2} = 2 \cdot 10^{-125}$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 3*x - log(x + 1).
$$- \log{\left (1 \right )} + 0 \cdot 3$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$3 - \frac{1}{x + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{2}{3}$$
Зн. экстремумы в точках:

(-2/3, -2 + log(3))

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{2}{3}$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках

[-2/3, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, -2/3]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(3 x - \log{\left (x + 1 \right )}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(3 x - \log{\left (x + 1 \right )}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 3*x - log(x + 1), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(3 x - \log{\left (x + 1 \right )}\right)\right) = 3$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = 3 x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(3 x - \log{\left (x + 1 \right )}\right)\right) = 3$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = 3 x$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$3 x - \log{\left (x + 1 \right )} = - 3 x - \log{\left (- x + 1 \right )}$$
- Нет
$$3 x - \log{\left (x + 1 \right )} = - -1 \cdot 3 x - - \log{\left (- x + 1 \right )}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной