График функции y = 13+75*x-x^3

Вы ввели

                    3
f(x) = 13 + 75*x - x 

$$f{\left(x \right)} = - x^{3} + 75 x + 13$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$- x^{3} + 75 x + 13 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{25}{\sqrt[3]{\frac{13}{2} + \frac{\sqrt{62331} i}{2}}} + \sqrt[3]{\frac{13}{2} + \frac{\sqrt{62331} i}{2}}$$
Численное решение
$$x_{1} = -8.57225050709192$$
$$x_{2} = 8.7456533600553$$
$$x_{3} = -0.173402852963376$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 13 + 75*x - x^3.
$$75 \cdot 0 - 0^{3} + 13$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 13$$
Точка:

(0, 13)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =$$
первая производная
$$75 - 3 x^{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -5$$
$$x_{2} = 5$$
Зн. экстремумы в точках:

(-5, -237)

(5, 263)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = -5$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 5$$
Убывает на промежутках
$$\left[-5, 5\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, -5\right] \cup \left[5, \infty\right)$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =$$
вторая производная
$$- 6 x = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[0, \infty\right)$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- x^{3} + 75 x + 13\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x^{3} + 75 x + 13\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 13 + 75*x - x^3, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- x^{3} + 75 x + 13}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{3} + 75 x + 13}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$- x^{3} + 75 x + 13 = x^{3} - 75 x + 13$$
- Нет
$$- x^{3} + 75 x + 13 = - x^{3} + 75 x - 13$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График