График функции y = y-y^3

Вы ввели

            3
f(y) = y - y 

$$f{\left (y \right )} = - y^{3} + y$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось Y при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$- y^{3} + y = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью Y:

Аналитическое решение
$$y_{1} = -1$$
$$y_{2} = 0$$
$$y_{3} = 1$$
Численное решение
$$y_{1} = 0$$
$$y_{2} = 1$$
$$y_{3} = -1$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда y равняется 0:
подставляем y = 0 в y - y^3.
$$- 0$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d y} f{\left (y \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d y} f{\left (y \right )} =$$
Первая производная
$$- 3 y^{2} + 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$y_{1} = - \frac{\sqrt{3}}{3}$$
$$y_{2} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$
Зн. экстремумы в точках:

    ___        ___ 
 -\/ 3    -2*\/ 3  
(-------, --------)
    3        9     

   ___      ___ 
 \/ 3   2*\/ 3  
(-----, -------)
   3       9    

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$y_{2} = - \frac{\sqrt{3}}{3}$$
Максимумы функции в точках:
$$y_{2} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$
Убывает на промежутках

[-sqrt(3)/3, sqrt(3)/3]

Возрастает на промежутках

(-oo, -sqrt(3)/3] U [sqrt(3)/3, oo)

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d y^{2}} f{\left (y \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d y^{2}} f{\left (y \right )} =$$
Вторая производная
$$- 6 y = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$y_{1} = 0$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

(-oo, 0]

Выпуклая на промежутках

[0, oo)

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при y->+oo и y->-oo
$$\lim_{y \to -\infty}\left(- y^{3} + y\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{y \to \infty}\left(- y^{3} + y\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции y - y^3, делённой на y при y->+oo и y ->-oo
$$\lim_{y \to -\infty}\left(\frac{1}{y} \left(- y^{3} + y\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{y \to \infty}\left(\frac{1}{y} \left(- y^{3} + y\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-y) и f = -f(-y).
Итак, проверяем:
$$- y^{3} + y = y^{3} - y$$
- Нет
$$- y^{3} + y = - y^{3} - - y$$
- Да
значит, функция
является
нечётной